ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 502

a) Приведем дроби $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{x - 4}{5x + 10}$ к общему знаменателю. Разложим знаменатели дробей на множители: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (по формуле квадрата суммы); $5x + 10 = 5(x + 2)$ (вынесли общий множитель $5$ за скобки). Наименьший общий знаменатель равен $5(x + 2)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $5$, для второй дроби равен $(x + 2)$. Преобразуем дроби: $$ \frac{3x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{3x}{(x + 2)^2} = \frac{3x \cdot 5}{5(x + 2)^2} = \frac{15x}{5(x + 2)^2} $$ $$ \frac{x - 4}{5x + 10} = \frac{x - 4}{5(x + 2)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{5(x + 2)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{5(x + 2)^2} $$ Ответ: $\frac{15x}{5(x + 2)^2}$ и $\frac{x^2 - 2x - 8}{5(x + 2)^2}$. --- b) Приведем дроби $\frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4}$ и $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$ к общему знаменателю. Разложим второй знаменатель по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Знаменатель первой дроби является неполным квадратом суммы, который уже входит в разложение второго знаменателя. Наименьший общий знаменатель равен $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 8$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(x - 2)$, для второй дроби равен $1$. Преобразуем первую дробь: $$ \frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4} = \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x^2 + 2x + 4)(x - 2)} = \frac{x^2 - x - 2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Вторая дробь уже имеет общий знаменатель: $$ \frac{x - 1}{x^3 - 8} = \frac{x - 1}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} $$ Ответ: $\frac{x^2 - x - 2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$ и $\frac{x - 1}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$ (или $\frac{x^2 - x - 2}{x^3 - 8}$ и $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$). --- c) Приведем дроби $\frac{x}{9 + 3x + x^2}$ и $\frac{5}{x^3 - 27}$ к общему знаменателю. Запишем знаменатель первой дроби в стандартном виде: $9 + 3x + x^2 = x^2 + 3x + 9$. Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов: $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. Наименьший общий знаменатель равен $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(x - 3)$, для второй дроби равен $1$. Преобразуем первую дробь: $$ \frac{x}{9 + 3x + x^2} = \frac{x(x - 3)}{(x^2 + 3x + 9)(x - 3)} = \frac{x^2 - 3x}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} $$ Вторая дробь: $$ \frac{5}{x^3 - 27} = \frac{5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} $$ Ответ: $\frac{x^2 - 3x}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$ и $\frac{5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$ (или $\frac{x^2 - 3x}{x^3 - 27}$ и $\frac{5}{x^3 - 27}$). --- d) Приведем дроби $\frac{12}{(x - 3)^2}$ и $\frac{2 + x}{(3 - x)^2}$ к общему знаменателю. Используем свойство квадрата противоположных выражений: $(3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2$. Знаменатели данных дробей равны, поэтому общий знаменатель равен $(x - 3)^2$. Запишем вторую дробь со знаменателем первой: $$ \frac{2 + x}{(3 - x)^2} = \frac{x + 2}{(x - 3)^2} $$ Ответ: $\frac{12}{(x - 3)^2}$ и $\frac{x + 2}{(x - 3)^2}$.