ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 1085

По условию проценты начисляются каждый год на всю сумму вклада (сложные проценты). Доход от вклада равен разности между суммой на счёте через 2 года и первоначальной суммой вклада. 1) Найдём доход первого брата: Первоначальная сумма вклада равна $a$ р. В конце первого года сумма на вкладе составит: $$ a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right) $$ В конце второго года проценты начисляются на сумму, полученную к концу первого года: $$ a \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 $$ Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $$ a \left(1 + \frac{2p}{100} + \frac{p^2}{10\,000}\right) = a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10\,000} $$ Тогда доход первого брата равен: $$ D_1 = \left(a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10\,000}\right) - a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10\,000}\text{ (р.)} $$ 2) Найдём доход второго брата: Первоначальная сумма вклада равна $2a$ р., а процентная ставка составляет $\frac{p}{2}\%$. В конце первого года сумма на вкладе составит: $$ 2a + 2a \cdot \frac{\frac{p}{2}}{100} = 2a \left(1 + \frac{p}{200}\right) $$ В конце второго года сумма на вкладе составит: $$ 2a \left(1 + \frac{p}{200}\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right) = 2a \left(1 + \frac{p}{200}\right)^2 $$ Раскроем скобки по формуле квадрата суммы: $$ 2a \left(1 + \frac{2p}{200} + \frac{p^2}{40\,000}\right) = 2a \left(1 + \frac{p}{100} + \frac{p^2}{40\,000}\right) = 2a + \frac{2ap}{100} + \frac{2ap^2}{40\,000} = 2a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20\,000} $$ Тогда доход второго брата равен: $$ D_2 = \left(2a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20\,000}\right) - 2a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20\,000}\text{ (р.)} $$ 3) Сравним доходы братьев: Найдём разность $D_1 - D_2$: $$ D_1 - D_2 = \left(\frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10\,000}\right) - \left(\frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20\,000}\right) = \frac{ap^2}{10\,000} - \frac{ap^2}{20\,000} = \frac{ap^2}{20\,000} $$ Так как $a > 0$ и $p > 0$, то $\frac{ap^2}{20\,000} > 0$, следовательно, $D_1 > D_2$. Ответ: доход первого брата окажется больше.