ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1600

По условию при делении на 7 числа $m$, $n$ и $p$ дают остатки 1, 3 и 2 соответственно. Значит, их можно представить в виде: $m = 7a + 1$, где $a$ — целое число; $n = 7b + 3$, где $b$ — целое число; $p = 7c + 2$, где $c$ — целое число. Подставим эти выражения в число $12m + 11n + 2p$: $$ 12m + 11n + 2p = 12(7a + 1) + 11(7b + 3) + 2(7c + 2) $$ Раскроем скобки: $$ 12(7a + 1) + 11(7b + 3) + 2(7c + 2) = 12 \cdot 7a + 12 + 11 \cdot 7b + 33 + 2 \cdot 7c + 4 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель 7, и вычислим сумму оставшихся числовых слагаемых: $$ (12 \cdot 7a + 11 \cdot 7b + 2 \cdot 7c) + (12 + 33 + 4) = 7(12a + 11b + 2c) + 49 $$ Так как $49 = 7 \cdot 7$, вынесем общий множитель 7 за скобки: $$ 7(12a + 11b + 2c) + 7 \cdot 7 = 7(12a + 11b + 2c + 7) $$ Поскольку $a$, $b$ и $c$ — целые числа, выражение в скобках $12a + 11b + 2c + 7$ также является целым числом. Следовательно, число $12m + 11n + 2p$ делится на 7 без остатка. Что и требовалось доказать.