ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1599

**Доказательство:** Пусть целые числа $a$ и $b$ при делении на натуральное число $n$ дают равные остатки, равные $r$ ($0 \le r < n$). Тогда по определению деления с остатком их можно представить в виде: $a = q_1 n + r$, $b = q_2 n + r$, где $q_1, q_2 \in \mathbb{Z}$. Найдём их разность: $a - b = (q_1 n + r) - (q_2 n + r) = (q_1 - q_2)n$. Следовательно, разность $(a - b)$ делится на $n$ нацело. Рассмотрим разность чисел $a^m$ и $b^m$. Для любого натурального $m$ справедлива формула разложения разности $m$-х степеней: $$ a^m - b^m = (a - b)(a^{m-1} + a^{m-2}b + \dots + a b^{m-2} + b^{m-1}) $$ Так как $a$ и $b$ — целые числа, выражение во второй скобке также является целым числом. Первый множитель $(a - b)$ делится на $n$, значит, и всё произведение $(a^m - b^m)$ делится на $n$ нацело. Пусть числа $a^m$ и $b^m$ дают при делении на $n$ остатки $r_1$ и $r_2$ соответственно ($0 \le r_1 < n$, $0 \le r_2 < n$): $a^m = k_1 n + r_1$, $b^m = k_2 n + r_2$, где $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$. Тогда их разность равна: $$ a^m - b^m = (k_1 - k_2)n + (r_1 - r_2) $$ Поскольку $a^m - b^m$ и $(k_1 - k_2)n$ делятся на $n$, разность остатков $(r_1 - r_2)$ также обязана делиться на $n$. Учитывая, что $0 \le r_1 < n$ и $0 \le r_2 < n$, получаем: $$ -n < r_1 - r_2 < n $$ Единственным целым числом из этого интервала, которое делится на $n$, является $0$. Отсюда: $r_1 - r_2 = 0 \implies r_1 = r_2$. Следовательно, числа $a^m$ и $b^m$ при делении на $n$ дают равные остатки, что и требовалось доказать. --- **Применение доказанного утверждения:** **а)** Найдем остаток от деления $5^{114}$ на 6. Заметим, что целые числа $5$ и $-1$ при делении на $6$ дают одинаковый остаток $5$: $5 = 6 \cdot 0 + 5$, $-1 = 6 \cdot (-1) + 5$ (их разность $5 - (-1) = 6$ делится на $6$). По доказанному утверждению числа $5^{114}$ и $(-1)^{114}$ при делении на $6$ дают равные остатки. Вычислим $(-1)^{114}$: $(-1)^{114} = 1$. Число $1$ при делении на $6$ даёт остаток $1$ ($1 = 6 \cdot 0 + 1$). Следовательно, остаток от деления $5^{114}$ на $6$ также равен $1$. *(Замечание: также можно было представить $5^{114} = (5^2)^{57} = 25^{57}$ и заметить, что $25$ и $1$ дают одинаковый остаток $1$ при делении на $6$).* Ответ к пункту а: 1. --- **б)** Найдем остаток от деления $3^{129}$ на 8. Преобразуем степень, выделив чётный показатель: $3^{129} = 3 \cdot 3^{128} = 3 \cdot (3^2)^{64} = 3 \cdot 9^{64}$. Рассмотрим основание степени — число $9$. Числа $9$ и $1$ при делении на $8$ дают равные остатки, равные $1$: $9 = 8 \cdot 1 + 1$, $1 = 8 \cdot 0 + 1$. По доказанному утверждению числа $9^{64}$ и $1^{64}$ при делении на $8$ дают равные остатки. Так как $1^{64} = 1$, число $9^{64}$ при делении на $8$ даёт остаток $1$. Значит, его можно записать в виде: $9^{64} = 8k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда исходное число равно: $$ 3^{129} = 3 \cdot 9^{64} = 3(8k + 1) = 24k + 3 = 8 \cdot (3k) + 3 $$ Поскольку слагаемое $8 \cdot (3k)$ делится на $8$ без остатка, а $0 \le 3 < 8$, остаток от деления числа $3^{129}$ на $8$ равен $3$. Ответ к пункту б: 3.