ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 841

Преобразуем исходное выражение, выделив полный квадрат: $$ x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2 = \left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \left(\frac{y}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{y}{2}\right)^2 + \frac{2}{7}y^2 $$ $$ = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4} + \frac{2}{7}y^2 $$ Приведём подобные слагаемые с $y^2$: $$ -\frac{1}{4}y^2 + \frac{2}{7}y^2 = \left(\frac{2}{7} - \frac{1}{4}\right)y^2 = \left(\frac{8}{28} - \frac{7}{28}\right)y^2 = \frac{1}{28}y^2 $$ Таким образом, получаем: $$ x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2 = \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{1}{28}y^2 $$ Проанализируем полученное выражение: 1. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому $\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$. 2. Так как по условию $y \ne 0$, то $y^2 > 0$, а значит, $\frac{1}{28}y^2 > 0$. 3. Сумма неотрицательного выражения и строго положительного числа всегда строго больше нуля: $$ \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{1}{28}y^2 > 0 $$ Следовательно, при любых значениях $x$ и $y$, не равных 0, значение выражения $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно, что и требовалось доказать.