ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 839

1) Преобразуем уравнение $x^2 + 2x = y^2 + 6$. Выделим в левой части уравнения полный квадрат: $$ x^2 + 2x + 1 - 1 = y^2 + 6 $$ $$ (x + 1)^2 - 1 = y^2 + 6 $$ Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $$ (x + 1)^2 - y^2 = 7 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ ((x + 1) - y)((x + 1) + y) = 7 $$ $$ (x - y + 1)(x + y + 1) = 7 $$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - y + 1)$ и $(x + y + 1)$ также являются целыми числами. Число $7$ является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых множителей только четырьмя способами: $1 \cdot 7$, $7 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-7)$ и $(-7) \cdot (-1)$. Рассмотрим все возможные случаи: а) $$ \begin{cases} x - y + 1 = 1 \\ x + y + 1 = 7 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $y = x = 3$. Получаем пару чисел $(3; 3)$. б) $$ \begin{cases} x - y + 1 = 7 \\ x + y + 1 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 0 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $y = -x = -3$. Получаем пару чисел $(3; -3)$. в) $$ \begin{cases} x - y + 1 = -1 \\ x + y + 1 = -7 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -8 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = -10 \implies x = -5$. Тогда из первого уравнения: $-5 - y = -2 \implies y = -3$. Получаем пару чисел $(-5; -3)$. г) $$ \begin{cases} x - y + 1 = -7 \\ x + y + 1 = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = -8 \\ x + y = -2 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = -10 \implies x = -5$. Тогда из первого уравнения: $-5 - y = -8 \implies y = 3$. Получаем пару чисел $(-5; 3)$. Ответ к пункту 1: $(3; 3)$, $(3; -3)$, $(-5; -3)$, $(-5; 3)$. --- 2) Преобразуем уравнение $x^2 - 8 = y^2 + 4y$. Выделим в правой части уравнения полный квадрат: $$ x^2 - 8 = y^2 + 4y + 4 - 4 $$ $$ x^2 - 8 = (y + 2)^2 - 4 $$ Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $$ x^2 - (y + 2)^2 = 8 - 4 $$ $$ x^2 - (y + 2)^2 = 4 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (x - (y + 2))(x + (y + 2)) = 4 $$ $$ (x - y - 2)(x + y + 2) = 4 $$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x - y - 2)$ и $(x + y + 2)$ также являются целыми. Заметим, что их сумма равна: $$ (x - y - 2) + (x + y + 2) = 2x $$ Сумма множителей — четное число, значит, множители должны иметь одинаковую четность (оба четные, так как их произведение равно четному числу $4$). Разложить число $4$ на два четных целых множителя можно двумя способами: $2 \cdot 2$ и $(-2) \cdot (-2)$. Рассмотрим оба случая: а) $$ \begin{cases} x - y - 2 = 2 \\ x + y + 2 = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 0 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = 4 \implies x = 2$. Тогда $y = -x = -2$. Получаем пару чисел $(2; -2)$. б) $$ \begin{cases} x - y - 2 = -2 \\ x + y + 2 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases} $$ Сложим уравнения системы: $2x = -4 \implies x = -2$. Тогда $y = x = -2$. Получаем пару чисел $(-2; -2)$. Ответ к пункту 2: $(2; -2)$, $(-2; -2)$.