ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 840

Выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель с остатком: $$ n^5 + 3 = n^3(n^2 + 1) - n(n^2 + 1) + n + 3 = (n^3 - n)(n^2 + 1) + (n + 3) $$ Тогда исходную дробь можно записать в виде: $$ \frac{n^5 + 3}{n^2 + 1} = \frac{(n^3 - n)(n^2 + 1) + (n + 3)}{n^2 + 1} = n^3 - n + \frac{n + 3}{n^2 + 1} $$ Так как $n$ — целое число, то выражение $n^3 - n$ также является целым числом. Следовательно, вся дробь будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{n + 3}{n^2 + 1}$ принимает целое значение. Знаменатель $n^2 + 1 > 0$ при любых действительных $n$. Возможны два случая: 1. Числитель равен нулю: $$ n + 3 = 0 \implies n = -3 $$ При $n = -3$ получаем $\frac{-3 + 3}{(-3)^2 + 1} = \frac{0}{10} = 0$ — целое число, значит, $n = -3$ является решением. 2. Числитель отличен от нуля ($n \neq -3$). Для того чтобы дробь $\frac{n + 3}{n^2 + 1}$ была целым числом, модуль её числителя должен быть не меньше знаменателя: $$ |n + 3| \ge n^2 + 1 $$ Рассмотрим это неравенство: * Если $n > -3$, то $|n + 3| = n + 3$: $$ n + 3 \ge n^2 + 1 $$ $$ n^2 - n - 2 \le 0 $$ $$ (n - 2)(n + 1) \le 0 $$ Отсюда получаем: $$ -1 \le n \le 2 $$ Целыми значениями $n$ на этом отрезке являются: $-1, 0, 1, 2$. * Если $n < -3$, то $|n + 3| = -(n + 3)$: $$ -(n + 3) \ge n^2 + 1 $$ $$ -n - 3 \ge n^2 + 1 $$ $$ n^2 + n + 4 \le 0 $$ Дискриминант квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($1 > 0$) и $D < 0$, выражение $n^2 + n + 4$ всегда больше нуля, и данное неравенство решений не имеет. Проверим найденные значения $n \in \{-1, 0, 1, 2\}$: * При $n = -1$: $$ \frac{-1 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \text{ — целое число;} $$ * При $n = 0$: $$ \frac{0 + 3}{0^2 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \text{ — целое число;} $$ * При $n = 1$: $$ \frac{1 + 3}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \text{ — целое число;} $$ * При $n = 2$: $$ \frac{2 + 3}{2^2 + 1} = \frac{5}{5} = 1 \text{ — целое число.} $$ Таким образом, все проверенные значения подходят. Ответ: $-3; -1; 0; 1; 2$.