ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 836

Заметим, что каждую дробь вида $\frac{1}{n(n+2)}$ можно представить в виде разности: $$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $$ Действительно: $$ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+2) - n}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $$ Применим данное равенство к каждому слагаемому суммы $S$: $$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) $$ $$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) $$ $$ \ldots $$ $$ \frac{1}{99 \cdot 101} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) $$ $$ \frac{1}{101 \cdot 103} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right) $$ Подставим полученные выражения в сумму и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ S = \frac{1}{2} \cdot \left( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right) + \left(\frac{1}{101} - \frac{1}{103}\right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, остаются только первое и последнее: $$ S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{103}\right) $$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$ \frac{1}{3} - \frac{1}{103} = \frac{103 - 3}{3 \cdot 103} = \frac{100}{309} $$ Вычислим окончательное значение суммы: $$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{100}{309} = \frac{50}{309} $$ Ответ: $\frac{50}{309}$.