ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 833

1) Преобразуем данное выражение, выделив слагаемые, делящиеся на 3: $$ n^3 + 3n^2 + 5n + 105 = (n^3 - n) + 3n^2 + 6n + 105 $$ Разложим выражение $n^3 - n$ на множители: $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Тогда исходное выражение принимает вид: $$ (n - 1)n(n + 1) + 3(n^2 + 2n + 35) $$ Проанализируем делимость каждого слагаемого на 3: * Произведение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел. Среди трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3, следовательно, всё произведение делится на 3 при любом натуральном $n$. * Слагаемое $3(n^2 + 2n + 35)$ делится на 3, так как содержит числовой множитель 3, а выражение в скобках при любом натуральном $n$ принимает целое значение. Так как каждое из слагаемых делится на 3, то и вся их сумма делится на 3. Утверждение доказано. 2) Преобразуем выражение, представив слагаемое $23n$ в виде $24n - n$: $$ n^3 + 12n^2 + 23n = (n^3 - n) + 12n^2 + 24n $$ Разложим первое слагаемое на множители, а во второй части вынесем общий множитель 6 за скобки: $$ (n - 1)n(n + 1) + 6(2n^2 + 4n) $$ Проанализируем делимость каждого слагаемого на 6: * Произведение $(n - 1)n(n + 1)$ — это произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных чисел хотя бы одно является чётным (делится на 2) и ровно одно делится на 3. Поскольку числа 2 и 3 взаимно простые, произведение делится на $2 \cdot 3 = 6$. * Слагаемое $6(2n^2 + 4n)$ делится на 6, так как содержит числовой множитель 6, а выражение в скобках принимает натуральное значение при любом натуральном $n$. Так как оба слагаемых делятся на 6, то и вся сумма делится на 6. Утверждение доказано.