ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 834

Рассмотрим основания степеней в данном выражении: $$ A = 3m + n + 5 $$ $$ B = 5m + 7n + 2 $$ Найдем сумму этих двух выражений: $$ A + B = (3m + n + 5) + (5m + 7n + 2) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ A + B = 8m + 8n + 7 = 8(m + n) + 7 $$ Так как $m$ и $n$ — натуральные числа, слагаемое $8(m + n)$ делится на $2$, то есть является чётным числом, а число $7$ — нечётное. Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна, следовательно, значение суммы $A + B$ является нечётным числом при любых натуральных $m$ и $n$. Сумма двух целых чисел может быть нечётной только в том случае, когда одно из слагаемых чётное, а другое — нечётное. Значит, хотя бы одно из чисел $A$ или $B$ обязательно чётно: 1) Если число $A = 3m + n + 5$ чётно, то его можно представить в виде $A = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда: $$ A^5 = (3m + n + 5)^5 = (2k)^5 = 32k^5 = 16 \cdot 2k^5 $$ Так как множитель $A^5$ делится на 16 (и даже на 32), то и всё произведение $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16. 2) Если число $B = 5m + 7n + 2$ чётно, то его можно представить в виде $B = 2l$, где $l$ — натуральное число. Тогда: $$ B^4 = (5m + 7n + 2)^4 = (2l)^4 = 16l^4 $$ Так как множитель $B^4$ делится на 16, то и всё произведение $(3m + n + 5)^5 (5m + 7n + 2)^4$ делится на 16. Таким образом, при любых натуральных значениях $m$ и $n$ хотя бы один из множителей делится на 16, а значит, и всё выражение делится на 16, что и требовалось доказать.