ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 832

Преобразуем исходное выражение, представив слагаемое $11n$ в виде $-n + 12n$: $$ n^3 + 11n = n^3 - n + 12n $$ Вынесем общий множитель $n$ за скобки в первых двух слагаемых и применим формулу разности квадратов: $$ n(n^2 - 1) + 12n = (n - 1)n(n + 1) + 12n $$ Рассмотрим каждое слагаемое полученной суммы: 1. Выражение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел: - Из двух последовательных чисел хотя бы одно является четным, следовательно, произведение делится на 2. - Из трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. - Так как числа 2 и 3 взаимно простые, то произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на $2 \cdot 3 = 6$. 2. Слагаемое $12n$ можно записать в виде $6 \cdot 2n$. Так как один из множителей равен 6, то $12n$ делится на 6 при любом натуральном $n$. Так как каждое из слагаемых делится на 6, то и вся сумма $(n - 1)n(n + 1) + 12n = n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.