ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 829

Для доказательства того, что число делится на $5$, достаточно определить его последнюю цифру по признаку делимости: натуральное число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$. Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых. 1) Определим последнюю цифру числа $32^{365}$. Последняя цифра числа $32^{365}$ определяется последней цифрой основания, то есть двойки, возведённой в степень $365$. Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении числа $2$ в степень: - $2^1 = 2$ (оканчивается на $2$); - $2^2 = 4$ (оканчивается на $4$); - $2^3 = 8$ (оканчивается на $8$); - $2^4 = 16$ (оканчивается на $6$); - $2^5 = 32$ (оканчивается на $2$). Последние цифры степеней двойки повторяются с периодом $4$: $2, 4, 8, 6$. Разделим показатель степени $365$ на $4$ с остатком: $$ 365 = 4 \cdot 91 + 1 $$ Остаток равен $1$. Это значит, что число $32^{365}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^1$, то есть на $2$. 2) Определим последнюю цифру числа $43^{241}$. Последняя цифра числа $43^{241}$ определяется последней цифрой тройки, возведённой в степень $241$. Рассмотрим закономерность для степеней числа $3$: - $3^1 = 3$ (оканчивается на $3$); - $3^2 = 9$ (оканчивается на $9$); - $3^3 = 27$ (оканчивается на $7$); - $3^4 = 81$ (оканчивается на $1$); - $3^5 = 243$ (оканчивается на $3$). Последние цифры степеней тройки также повторяются с периодом $4$: $3, 9, 7, 1$. Разделим показатель степени $241$ на $4$ с остатком: $$ 241 = 4 \cdot 60 + 1 $$ Остаток равен $1$. Следовательно, число $43^{241}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^1$, то есть на $3$. 3) Найдём последнюю цифру суммы $32^{365} + 43^{241}$: $$ 2 + 3 = 5 $$ Так как сумма оканчивается цифрой $5$, по признаку делимости число $32^{365} + 43^{241}$ делится на $5$. Что и требовалось доказать.