ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 787

1) $$ \begin{cases} \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5, \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 0,5 \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на 10 (наименьший общий знаменатель чисел 5 и 2), а обе части второго уравнения на 20 (наименьший общий знаменатель чисел 4 и 5): $$ \begin{cases} 10 \cdot \frac{x}{5} + 10 \cdot \frac{y}{2} = 10 \cdot 5, \\ 20 \cdot \frac{x}{4} - 20 \cdot \frac{y}{5} = 20 \cdot 0,5 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x + 5y = 50, \\ 5x - 4y = 10 \end{cases} $$ Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 5: $$ \begin{cases} 8x + 20y = 200, \\ 25x - 20y = 50 \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (8x + 25x) + (20y - 20y) = 200 + 50 $$ $$ 33x = 250 $$ $$ x = \frac{250}{33} = 7\frac{19}{33} $$ Найдем значение $y$, подставив $x = \frac{250}{33}$ в уравнение $2x + 5y = 50$: $$ 2 \cdot \frac{250}{33} + 5y = 50 $$ $$ \frac{500}{33} + 5y = 50 $$ $$ 5y = 50 - \frac{500}{33} $$ $$ 5y = \frac{1650 - 500}{33} $$ $$ 5y = \frac{1150}{33} $$ $$ y = \frac{1150}{33 \cdot 5} = \frac{230}{33} = 6\frac{32}{33} $$ Ответ: $\left(7\frac{19}{33}; 6\frac{32}{33}\right)$. --- 2) $$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3, \\ \frac{5x}{6} - \frac{7y}{8} = -1 \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на 12, а обе части второго уравнения — на 24: $$ \begin{cases} 12 \cdot \frac{2x}{3} - 12 \cdot \frac{5y}{4} = 12 \cdot (-3), \\ 24 \cdot \frac{5x}{6} - 24 \cdot \frac{7y}{8} = 24 \cdot (-1) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 8x - 15y = -36, \\ 20x - 21y = -24 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на 5, а второе — на 2: $$ \begin{cases} 40x - 75y = -180, \\ 40x - 42y = -48 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (40x - 40x) + (-42y - (-75y)) = -48 - (-180) $$ $$ 33y = 132 $$ $$ y = 4 $$ Подставим $y = 4$ в уравнение $8x - 15y = -36$: $$ 8x - 15 \cdot 4 = -36 $$ $$ 8x - 60 = -36 $$ $$ 8x = 24 $$ $$ x = 3 $$ Ответ: $(3; 4)$. --- 3) $$ \begin{cases} \frac{x + y}{3} + y = 9, \\ \frac{x - y}{3} - x = -4 \end{cases} $$ Умножим обе части каждого уравнения системы на 3: $$ \begin{cases} (x + y) + 3y = 27, \\ (x - y) - 3x = -12 \end{cases} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \begin{cases} x + 4y = 27, \\ -2x - y = -12 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = 12 - 2x $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x + 4(12 - 2x) = 27 $$ $$ x + 48 - 8x = 27 $$ $$ -7x = 27 - 48 $$ $$ -7x = -21 $$ $$ x = 3 $$ Найдем значение $y$: $$ y = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6 $$ Ответ: $(3; 6)$. --- 4) $$ \begin{cases} \frac{x + y}{2} = \frac{1}{3}, \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $$ Умножим обе части первого уравнения на 2: $$ \begin{cases} x + y = \frac{2}{3}, \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ 2x = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \frac{4 + 3}{6} $$ $$ 2x = \frac{7}{6} $$ $$ x = \frac{7}{12} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ 2y = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} $$ $$ 2y = \frac{4 - 3}{6} $$ $$ 2y = \frac{1}{6} $$ $$ y = \frac{1}{12} $$ Ответ: $\left(\frac{7}{12}; \frac{1}{12}\right)$.