ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 747

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 5, \\ ax + 3y = c. \end{cases} $$ Выразим переменную $y$ из первого уравнения: $$ y = 5 - x. $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: $$ ax + 3(5 - x) = c. $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ ax + 15 - 3x = c; $$ $$ (a - 3)x = c - 15. $$ Количество решений системы уравнений зависит от коэффициентов полученного линейного уравнения $(a - 3)x = c - 15$. **1) Единственное решение** Линейное уравнение $(a - 3)x = c - 15$ имеет единственный корень тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ отличен от нуля: $$ a - 3 \neq 0 \implies a \neq 3. $$ При этом значение $c$ может быть любым числом. Например, можно взять $a = 1$ и $c = 0$. Итог: $a \neq 3$, $c$ — любое число (например, $a = 1$, $c = 0$). **2) Бесконечно много решений** Уравнение $(a - 3)x = c - 15$ имеет бесконечно много корней (принимает вид $0 \cdot x = 0$), если одновременно выполняются условия: $$ \begin{cases} a - 3 = 0, \\ c - 15 = 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = 3, \\ c = 15. \end{cases} $$ Итог: $a = 3$, $c = 15$. **3) Не имеет решений** Уравнение $(a - 3)x = c - 15$ не имеет решений (принимает вид $0 \cdot x = k$, где $k \neq 0$), если коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю: $$ \begin{cases} a - 3 = 0, \\ c - 15 \neq 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} a = 3, \\ c \neq 15. \end{cases} $$ Например, можно взять $a = 3$ и $c = 0$. Итог: $a = 3$, $c \neq 15$ (например, $a = 3$, $c = 0$). Ответ: 1) $a \neq 3$, $c$ — любое число; 2) $a = 3$, $c = 15$; 3) $a = 3$, $c \neq 15$.