ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 744

**1)** $$ \begin{cases} 16x - 27y = 20, \\ 5x + 18y = 41,5 \end{cases} $$ Уравняем коэффициенты при переменной $y$. Для этого найдём наименьшее общее кратное коэффициентов 27 и 18: $\text{НОК}(27, 18) = 54$. Умножим первое уравнение на $2$, а второе — на $3$: $$ \begin{cases} 32x - 54y = 40, \\ 15x + 54y = 124,5 \end{cases} $$ Сложим почленно оба уравнения системы: $$ (32x + 15x) + (-54y + 54y) = 40 + 124,5 $$ $$ 47x = 164,5 $$ $$ x = 164,5 : 47 $$ $$ x = 3,5 $$ Подставим полученное значение $x = 3,5$ в первое уравнение исходной системы: $$ 16 \cdot 3,5 - 27y = 20 $$ $$ 56 - 27y = 20 $$ $$ -27y = 20 - 56 $$ $$ -27y = -36 $$ $$ y = \frac{-36}{-27} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Ответ: $(3,5; 1\frac{1}{3})$. --- **2)** $$ \begin{cases} 18x - 21y = 2, \\ 24x - 15y = 7 \end{cases} $$ Уравняем коэффициенты при $x$. Для чисел 18 и 24 наименьшее общее кратное равно 72. Умножим первое уравнение на $4$, а второе — на $-3$: $$ \begin{cases} 72x - 84y = 8, \\ -72x + 45y = -21 \end{cases} $$ Сложим почленно уравнения системы: $$ (72x - 72x) + (-84y + 45y) = 8 - 21 $$ $$ -39y = -13 $$ $$ y = \frac{-13}{-39} = \frac{1}{3} $$ Подставим значение $y = \frac{1}{3}$ в первое уравнение: $$ 18x - 21 \cdot \frac{1}{3} = 2 $$ $$ 18x - 7 = 2 $$ $$ 18x = 9 $$ $$ x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} = 0,5 $$ Ответ: $(0,5; \frac{1}{3})$. --- **3)** $$ \begin{cases} \frac{1}{2}(x - 4y) = x - y, \\ \frac{x}{2} + y = 0 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $2$, чтобы избавиться от дроби: $$ x - 4y = 2(x - y) $$ $$ x - 4y = 2x - 2y $$ $$ x - 2x - 4y + 2y = 0 $$ $$ -x - 2y = 0 \implies x + 2y = 0 $$ Умножим второе уравнение на $2$: $$ x + 2y = 0 $$ Получили систему из двух одинаковых уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 0, \\ x + 2y = 0 \end{cases} $$ Из уравнения $x + 2y = 0$ следует, что $x = -2y$. Любая пара чисел вида $(-2y; y)$, где $y$ — любое действительное число, является решением. Ответ: $(-2y; y)$, где $y \in \mathbb{R}$ (бесконечно много решений). --- **4)** $$ \begin{cases} 3(x - y) = 6(y + 1), \\ \frac{x}{3} - 1\frac{1}{3} = y \end{cases} $$ Упростим первое уравнение, разделив обе его части на $3$: $$ x - y = 2(y + 1) $$ $$ x - y = 2y + 2 $$ $$ x - 3y = 2 $$ Преобразуем второе уравнение. Запишем смешанную дробь в виде неправильной: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Умножим обе части уравнения на $3$: $$ x - 4 = 3y $$ $$ x - 3y = 4 $$ Запишем полученную систему: $$ \begin{cases} x - 3y = 2, \\ x - 3y = 4 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (x - x) + (-3y - (-3y)) = 2 - 4 $$ $$ 0 = -2 $$ Получили неверное числовое равенство, следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет. --- **5)** $$ \begin{cases} \frac{x - y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x - y}{4}, \\ \frac{x - y}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3} \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на общий знаменатель $12$: $$ 4(x - y) - 6 = 3(x - y) $$ $$ 4(x - y) - 3(x - y) = 6 $$ $$ x - y = 6 $$ Умножим второе уравнение на общий знаменатель $6$: $$ 3(x - y) = 27 + 2(y - 1) $$ Так как из первого уравнения $x - y = 6$, подставим это значение во второе уравнение: $$ 3 \cdot 6 = 27 + 2y - 2 $$ $$ 18 = 25 + 2y $$ $$ 2y = 18 - 25 $$ $$ 2y = -7 $$ $$ y = -3,5 $$ Теперь найдём $x$, используя равенство $x - y = 6$: $$ x - (-3,5) = 6 $$ $$ x + 3,5 = 6 $$ $$ x = 6 - 3,5 = 2,5 $$ Ответ: $(2,5; -3,5)$. --- **6)** $$ \begin{cases} \frac{x + y}{5} - \frac{y - x}{2} = x + \frac{3}{20}, \\ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{3} = y - 7\frac{1}{24} \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $20$: $$ 4(x + y) - 10(y - x) = 20x + 3 $$ $$ 4x + 4y - 10y + 10x = 20x + 3 $$ $$ 14x - 6y = 20x + 3 $$ $$ 14x - 20x - 6y = 3 $$ $$ -6x - 6y = 3 $$ Разделим обе части на $-3$: $$ 2x + 2y = -1 $$ Преобразуем второе уравнение. Запишем $7\frac{1}{24}$ в виде неправильной дроби: $7\frac{1}{24} = \frac{169}{24}$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $24$: $$ 6(x - y) + 8(x + y) = 24y - 169 $$ $$ 6x - 6y + 8x + 8y = 24y - 169 $$ $$ 14x + 2y = 24y - 169 $$ $$ 14x + 2y - 24y = -169 $$ $$ 14x - 22y = -169 $$ Получили систему: $$ \begin{cases} 2x + 2y = -1, \\ 14x - 22y = -169 \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на $-7$: $$ \begin{cases} -14x - 14y = 7, \\ 14x - 22y = -169 \end{cases} $$ Сложим уравнения почленно: $$ (-14x + 14x) + (-14y - 22y) = 7 - 169 $$ $$ -36y = -162 $$ $$ y = \frac{-162}{-36} = 4,5 $$ Подставим найденное значение $y = 4,5$ в уравнение $2x + 2y = -1$: $$ 2x + 2 \cdot 4,5 = -1 $$ $$ 2x + 9 = -1 $$ $$ 2x = -10 $$ $$ x = -5 $$ Ответ: $(-5; 4,5)$.