ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 574

Пусть $n$ — произвольное натуральное число, большее $1$ ($n > 1$). Тогда число, предшествующее ему в натуральном ряду, равно $n - 1$. Составим разность их кубов: $$ n^3 - (n - 1)^3 $$ Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ и раскроем скобки: $$ n^3 - (n - 1)^3 = n^3 - (n^3 - 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 - 1^3) = n^3 - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 = 3n^2 - 3n + 1 $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки у первых двух слагаемых: $$ 3n^2 - 3n + 1 = 3(n^2 - n) + 1 $$ Так как $n$ — натуральное число, то выражение $n^2 - n$ является целым числом. Значит, первое слагаемое $3(n^2 - n)$ делится на $3$ нацело. Следовательно, при делении числа $3(n^2 - n) + 1$ на $3$ получается остаток $1$. Это означает, что число $3(n^2 - n) + 1$ не делится на $3$. Утверждение доказано.