ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 400

**1)** Выясним, может ли значение каждого из данных многочленов быть отрицательным числом при условии, что $a > 0$ и $b > 0$. * Для многочлена $2ab + 3b^2 + 1$: Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, то произведение $ab > 0$, а значит, и слагаемое $2ab > 0$. Так как $b > 0$, то $b^2 > 0$, а значит, и $3b^2 > 0$. Число $1 > 0$. Сумма трех положительных чисел всегда положительна: $$ 2ab + 3b^2 + 1 > 0 $$ Следовательно, значение многочлена $2ab + 3b^2 + 1$ не может быть отрицательным числом. * Для многочлена $a^2 - b^2$: Разность $a^2 - b^2$ будет отрицательной, если $a^2 < b^2$, то есть при $a < b$ (так как числа $a$ и $b$ положительны). Приведем пример: пусть $a = 1$ и $b = 2$ (оба числа больше нуля). Тогда: $$ a^2 - b^2 = 1^2 - 2^2 = 1 - 4 = -3 < 0 $$ Следовательно, значение многочлена $a^2 - b^2$ может быть отрицательным числом. **Ответ к пункту 1:** для $2ab + 3b^2 + 1$ — не может; для $a^2 - b^2$ — может. --- **2)** Выясним, может ли значение каждого из данных многочленов быть положительным числом при условии, что $a > 0$ и $b > 0$. * Для многочлена $b^2 - 4a^2$: Разность $b^2 - 4a^2$ будет положительной, если $b^2 > 4a^2$, то есть при $b > 2a$ (так как $a > 0$ и $b > 0$). Приведем пример: пусть $a = 1$ и $b = 3$ (оба числа больше нуля). Тогда: $$ b^2 - 4a^2 = 3^2 - 4 \cdot 1^2 = 9 - 4 = 5 > 0 $$ Следовательно, значение многочлена $b^2 - 4a^2$ может быть положительным числом. * Для многочлена $ab - a^2b^2$: Разложим многочлен на множители: $$ ab - a^2b^2 = ab(1 - ab) $$ Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $ab > 0$. Произведение будет положительным, если второй множитель также положителен: $1 - ab > 0$, то есть $ab < 1$. Приведем пример: пусть $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$ (оба числа больше нуля). Тогда: $$ ab - a^2b^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} > 0 $$ Следовательно, значение многочлена $ab - a^2b^2$ может быть положительным числом. **Ответ к пункту 2:** для $b^2 - 4a^2$ — может; для $ab - a^2b^2$ — может.