ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 356

1) Представим числа в числителе в виде степеней с основанием $3$, зная, что $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$: $$ \frac{81 \cdot 27^3}{3^8} = \frac{3^4 \cdot (3^3)^3}{3^8} $$ Используя свойства степеней $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$, $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ и $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, получаем: $$ \frac{3^4 \cdot 3^{3 \cdot 3}}{3^8} = \frac{3^4 \cdot 3^9}{3^8} = \frac{3^{4+9}}{3^8} = \frac{3^{13}}{3^8} = 3^{13-8} = 3^5 = 243 $$ 2) Раскроем степень степени в числителе, а основание знаменателя представим в виде произведения $14 = 2 \cdot 7$: $$ \frac{2^8 \cdot (7^2)^4}{14^7} = \frac{2^8 \cdot 7^{2 \cdot 4}}{(2 \cdot 7)^7} = \frac{2^8 \cdot 7^8}{2^7 \cdot 7^7} $$ Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: $$ 2^{8-7} \cdot 7^{8-7} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14 $$ 3) Представим основания степеней через простые множители: $16 = 2^4$, а $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$: $$ \frac{16^2 \cdot 3^5}{12^4} = \frac{(2^4)^2 \cdot 3^5}{(2^2 \cdot 3)^4} = \frac{2^{4 \cdot 2} \cdot 3^5}{(2^2)^4 \cdot 3^4} = \frac{2^8 \cdot 3^5}{2^8 \cdot 3^4} $$ Сократим дробь на $2^8$ и применим правило деления степеней: $$ \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 $$ 4) Применим свойство возведения степени в степень в числителе и знаменателе: $$ \frac{2^9 \cdot (2^2)^5}{(2^5)^3} = \frac{2^9 \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^{5 \cdot 3}} = \frac{2^9 \cdot 2^{10}}{2^{15}} $$ Выполним умножение и деление степеней с одинаковым основанием $2$: $$ \frac{2^{9+10}}{2^{15}} = \frac{2^{19}}{2^{15}} = 2^{19-15} = 2^4 = 16 $$ Ответ: 1) $243$; 2) $14$; 3) $3$; 4) $16$.