ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень упражнение - 240

Пусть исходное двузначное число имеет цифру десятков $a$ и цифру единиц $b$, где $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ и $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$. Тогда само число можно записать в виде: $$ 10a + b $$ По условию задачи сумма цифр меньше $10$, то есть $a + b < 10$. Это означает, что сумма $a + b$ является однозначным числом (цифрой). 1. Найдём результат умножения данного числа на $11$: $$ (10a + b) \cdot 11 = (10a + b) \cdot (10 + 1) $$ $$ (10a + b) \cdot (10 + 1) = 100a + 10b + 10a + b = 100a + 10(a + b) + b $$ 2. Рассмотрим число, которое получается, если между цифрами $a$ и $b$ вставить их сумму $(a + b)$. Так как $a + b$ — одна цифра, полученное число будет трёхзначным, где: — цифра сотен равна $a$; — цифра десятков равна $(a + b)$; — цифра единиц равна $b$. Запишем это трёхзначное число в виде суммы разрядных слагаемых: $$ a \cdot 100 + (a + b) \cdot 10 + b = 100a + 10(a + b) + b $$ 3. Сравнивая полученные выражения, видим, что результат умножения двузначного числа на $11$ в точности равен значению полученного трёхзначного числа: $$ (10a + b) \cdot 11 = 100a + 10(a + b) + b $$ Что и требовалось доказать.