ГДЗ по алгебре 7 класс Колягин Базовый уровень проверь себя - Глава 1

## 1. Вычислить: 1) Выполним вычитание десятичных дробей: $$ 13,26 - 2,437 = 13,260 - 2,437 = 10,823 $$ 2) Выполним умножение десятичных дробей: $$ 6,3 \cdot 0,408 = 2,5704 $$ 3) Перенесём запятую в делимом и делителе на один знак вправо и выполним деление: $$ 60,48 : 1,2 = 604,8 : 12 = 50,4 $$ 4) Приведём дроби к общему знаменателю $6$: $$ \frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} $$ 5) Приведём дроби к общему знаменателю $18$: $$ -\frac{7}{9} - \frac{5}{18} = -\frac{14}{18} - \frac{5}{18} = -\frac{19}{18} = -1\frac{1}{18} $$ 6) Переведём десятичную и смешанную дроби в обыкновенные и выполним умножение: $$ 0,4 \cdot \left(-3\frac{1}{8}\right) = \frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{25}{8}\right) = -\frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 8} = -\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 4} = -\frac{5}{4} = -1,25 $$ 7) Возведём отрицательную дробь в третью степень: $$ \left(-1\frac{1}{4}\right)^3 = \left(-\frac{5}{4}\right)^3 = -\frac{5^3}{4^3} = -\frac{125}{64} = -1\frac{61}{64} $$ --- ## 2. Найти неизвестный член пропорции: $$ 0,8 : x = 48 : 15 $$ По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов: $$ 48 \cdot x = 0,8 \cdot 15 $$ $$ 48x = 12 $$ $$ x = \frac{12}{48} $$ $$ x = 0,25 $$ Ответ: $x = 0,25$. --- ## 3. Масштаб карты $1 : 1\,000\,000$. 1) Переведём расстояние на местности из километров в сантиметры ($1\text{ км} = 100\,000\text{ см}$): $$ 56\text{ км} = 56 \cdot 100\,000\text{ см} = 5\,600\,000\text{ см} $$ 2) Найдём расстояние на карте: $$ 5\,600\,000 : 1\,000\,000 = 5,6\text{ см} $$ Ответ: $5,6\text{ см}$. --- ## 4. Найти: 1) 17 % от числа 34: $$ 34 \cdot 0,17 = 5,78 $$ Ответ: $5,78$. 2) Число, 26 % которого равны 7,8: $$ 7,8 : 0,26 = 780 : 26 = 30 $$ Ответ: $30$. --- ## 5. Вычислить: 1) Сгруппируем слагаемые с учётом удобства вычислений: $$ -6,29 + 3,08 - 1,74 - 2,44 + 5,29 = (-6,29 + 5,29) + 3,08 - (1,74 + 2,44) $$ $$ = -1 + 3,08 - 4,18 = 2,08 - 4,18 = -2,1 $$ Ответ: $-2,1$. 2) Запишем числа в виде обыкновенных дробей: $$ -1,4 \cdot 7\frac{2}{9} \cdot \left(-\frac{21}{26}\right) = -\frac{7}{5} \cdot \frac{65}{9} \cdot \left(-\frac{21}{26}\right) $$ Произведение двух отрицательных чисел положительно: $$ = \frac{7 \cdot 65 \cdot 21}{5 \cdot 9 \cdot 26} = \frac{7 \cdot (5 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 7)}{5 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 13)} = \frac{7 \cdot 7}{3 \cdot 2} = \frac{49}{6} = 8\frac{1}{6} $$ Ответ: $8\frac{1}{6}$. --- ## 6. Найти НОД и НОК чисел 90 и 63. Разложим числа на простые множители: $$ 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 $$ $$ 63 = 3^2 \cdot 7 $$ Наибольший общий делитель равен произведению общих простых множителей с наименьшими показателями: $$ \text{НОД}(90, 63) = 3^2 = 9 $$ Наименьшее общее кратное равно произведению всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, с наибольшими показателями: $$ \text{НОК}(90, 63) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 90 \cdot 7 = 630 $$ Ответ: $\text{НОД} = 9$, $\text{НОК} = 630$. --- ## 7. Решить уравнение: $$ 4,2 - 0,02 \cdot x = 6,8 $$ Перенесём свободный член в правую часть: $$ -0,02x = 6,8 - 4,2 $$ $$ -0,02x = 2,6 $$ $$ x = 2,6 : (-0,02) $$ $$ x = -260 : 2 $$ $$ x = -130 $$ Ответ: $x = -130$. --- ## 8. Стоимость телевизора через 2 года. 1) Снижение цены на 10 % означает, что новая цена составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от цены предыдущего года (коэффициент $0,9$). 2) Цена через 1 год: $$ 32 \cdot 0,9 = 28,8\text{ тыс. р.} $$ 3) Цена через 2 года: $$ 28,8 \cdot 0,9 = 25,92\text{ тыс. р.} = 25\,920\text{ р.} $$ Ответ: $25,92\text{ тыс. р.}$ (или $25\,920\text{ рублей}$). --- ## 9. Время работы 16 рабочих. Количество рабочих и время выполнения одной и той же работы обратно пропорциональны. Пусть 16 рабочих выполнят работу за $x$ часов. Составим пропорцию: $$ \frac{14}{16} = \frac{x}{8} $$ $$ 16x = 14 \cdot 8 $$ $$ 16x = 112 $$ $$ x = 112 : 16 $$ $$ x = 7 $$ Ответ: за 7 часов. --- ## 10. Вычислить сумму: $$ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 999 - 1000 $$ Объединим слагаемые попарно: $$ (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (999 - 1000) $$ Значение каждой скобки равно: $$ 1 - 2 = 3 - 4 = 5 - 6 = \dots = -1 $$ Всего в выражении 1000 слагаемых, то есть ровно $1000 : 2 = 500$ пар. Сумма равна: $$ 500 \cdot (-1) = -500 $$ Ответ: $-500$. --- ## 11. Установить, делится ли на 12 число 4 817 532. Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на взаимно простые множители 3 и 4. 1) **Признак делимости на 4:** число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Число 32 делится на 4 ($32 : 4 = 8$), значит, $4\,817\,532$ делится на 4. 2) **Признак делимости на 3:** число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр: $$ 4 + 8 + 1 + 7 + 5 + 3 + 2 = 30 $$ Число 30 делится на 3 ($30 : 3 = 10$), значит, $4\,817\,532$ делится на 3. Так как число $4\,817\,532$ делится и на 4, и на 3, оно делится на $4 \cdot 3 = 12$. Ответ: число $4\,817\,532$ делится на 12. --- ## 12. Масса свежего кофе. 1) При потере 12,5 % массы жареный кофе составляет: $$ 100\% - 12,5\% = 87,5\%\text{ от массы свежего кофе.} $$ 2) Переведём проценты в дробь: $87,5\% = 0,875 = \frac{7}{8}$. 3) Найдём массу свежего кофе: $$ 21 : 0,875 = 21 : \frac{7}{8} = 21 \cdot \frac{8}{7} = 3 \cdot 8 = 24\text{ кг} $$ Ответ: 24 кг. --- ## 13. Длина частей бревна. Пусть $x, y, z$ — длины первой, второй и третьей частей соответственно. По условию: $x : y = 3 : 5$, $y : z = 2 : 3$. Приведём отношения к одинаковому количеству частей для величины $y$ (наименьшее общее кратное 5 и 2 равно 10): $$ x : y = (3 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6 : 10 $$ $$ y : z = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15 $$ Значит, отношение трёх частей: $$ x : y : z = 6 : 10 : 15 $$ Всего частей: $$ 6 + 10 + 15 = 31\text{ часть} $$ Найдём длину одной части: $$ 15,5 : 31 = 0,5\text{ см} $$ Найдём длину каждой части бревна: - первая часть: $6 \cdot 0,5 = 3\text{ см}$; - вторая часть: $10 \cdot 0,5 = 5\text{ см}$; - третья часть: $15 \cdot 0,5 = 7,5\text{ см}$. Ответ: $3\text{ см}$, $5\text{ см}$, $7,5\text{ см}$.