ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 828

**1)** $x^2 + 2x = y^2 + 6$ Выделим полный квадрат в левой части уравнения, прибавив к обеим частям равенства число $1$: $$ x^2 + 2x + 1 = y^2 + 6 + 1 $$ $$ (x + 1)^2 = y^2 + 7 $$ Перенесём $y^2$ в левую часть: $$ (x + 1)^2 - y^2 = 7 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ ((x + 1) - y)((x + 1) + y) = 7 $$ $$ (x - y + 1)(x + y + 1) = 7 $$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражения $(x - y + 1)$ и $(x + y + 1)$ также являются целыми числами. Число $7$ является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых множителей четырьмя способами: $1 \cdot 7$, $7 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-7)$ и $(-7) \cdot (-1)$. Рассмотрим все возможные случаи: 1) $\begin{cases} x - y + 1 = 1 \\ x + y + 1 = 7 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Подставим $x = 3$ в первое уравнение: $3 - y = 0 \implies y = 3$. Получаем пару: $(3; 3)$. 2) $\begin{cases} x - y + 1 = 7 \\ x + y + 1 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 0 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Подставим $x = 3$ во второе уравнение: $3 + y = 0 \implies y = -3$. Получаем пару: $(3; -3)$. 3) $\begin{cases} x - y + 1 = -1 \\ x + y + 1 = -7 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = -8 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = -10 \implies x = -5$. Подставим $x = -5$ в первое уравнение: $-5 - y = -2 \implies y = -3$. Получаем пару: $(-5; -3)$. 4) $\begin{cases} x - y + 1 = -7 \\ x + y + 1 = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = -8 \\ x + y = -2 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = -10 \implies x = -5$. Подставим $x = -5$ во второе уравнение: $-5 + y = -2 \implies y = 3$. Получаем пару: $(-5; 3)$. **Ответ к пункту 1:** $(3; 3), (3; -3), (-5; -3), (-5; 3)$. --- **2)** $x^2 - 8 = y^2 + 4y$ Выделим полный квадрат относительно переменной $y$. Для этого прибавим к обеим частям уравнения число $4$: $$ x^2 - 8 + 4 = y^2 + 4y + 4 $$ $$ x^2 - 4 = (y + 2)^2 $$ Перенесём выражение с переменной в левую часть, а число — в правую: $$ x^2 - (y + 2)^2 = 4 $$ Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $$ (x - (y + 2))(x + (y + 2)) = 4 $$ $$ (x - y - 2)(x + y + 2) = 4 $$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, скобки принимают целые значения. Заметим, что сумма этих множителей равна: $$ (x - y - 2) + (x + y + 2) = 2x $$ Сумма множителей является чётным числом ($2x$), следовательно, множители должны иметь одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Так как их произведение равно $4$ (чётное число), оба множителя обязаны быть чётными числами. Число $4$ раскладывается на два чётных целых множителя только двумя способами: $2 \cdot 2$ и $(-2) \cdot (-2)$. Рассмотрим эти случаи: 1) $\begin{cases} x - y - 2 = 2 \\ x + y + 2 = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 0 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = 4 \implies x = 2$. Подставим $x = 2$ во второе уравнение: $2 + y = 0 \implies y = -2$. Получаем пару: $(2; -2)$. 2) $\begin{cases} x - y - 2 = -2 \\ x + y + 2 = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2x = -4 \implies x = -2$. Подставим $x = -2$ в первое уравнение: $-2 - y = 0 \implies y = -2$. Получаем пару: $(-2; -2)$. **Ответ к пункту 2:** $(2; -2), (-2; -2)$.