ГДЗ по алгебре 7 класс Алимов номер - 826

Заметим, что каждое слагаемое суммы можно представить в виде разности двух дробей. Для любых двух последовательных четных чисел $n$ и $n + 2$ справедливо равенство: $$ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) $$ Проверим это преобразование: $$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n + 2) - n}{n(n + 2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n + 2)} = \frac{1}{n(n + 2)} $$ Представим каждую дробь заданной суммы по этой формуле: $$ \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) $$ $$ \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) $$ $$ \frac{1}{6 \cdot 8} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) $$ $$ \dots $$ $$ \frac{1}{96 \cdot 98} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{96} - \frac{1}{98} \right) $$ $$ \frac{1}{98 \cdot 100} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{98} - \frac{1}{100} \right) $$ Подставим полученные выражения в исходную сумму $S$ и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ S = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{96} - \frac{1}{98} \right) + \left( \frac{1}{98} - \frac{1}{100} \right) \right) $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются ($-\frac{1}{4}$ и $+\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{6}$ и $+\frac{1}{6}$ и так далее). В скобках остаются только первое и последнее слагаемые: $$ S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{100} \right) $$ Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $100$: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{100} = \frac{50}{100} - \frac{1}{100} = \frac{49}{100} $$ Найдем значение суммы: $$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{100} = \frac{49}{200} = 0{,}245 $$ Ответ: $\frac{49}{200}$ (или $0{,}245$).