ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 9 - 9.23

**9.23.** Для доказательства равенств преобразуем левую часть каждого выражения, используя свойства степеней: * при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$; * при возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель: $(xy)^n = x^n y^n$; * при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$; * при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. --- **1)** Докажем тождество: $$ \frac{\left(a^{5}\right)^{6}\cdot\left(b^{9}\right)^{4}\cdot\left(a^{2}b^{2}\right)^{3}}{\left(b^{4}\right)^{10}\cdot\left(a^{7}\right)^{5}}=ab^{2} $$ Преобразуем числитель дроби: $$ \left(a^{5}\right)^{6} = a^{5 \cdot 6} = a^{30} $$ $$ \left(b^{9}\right)^{4} = b^{9 \cdot 4} = b^{36} $$ $$ \left(a^{2}b^{2}\right)^{3} = \left(a^{2}\right)^{3} \cdot \left(b^{2}\right)^{3} = a^{2 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^{6}b^{6} $$ Перемножим степени с одинаковыми основаниями в числителе: $$ a^{30} \cdot b^{36} \cdot a^{6}b^{6} = a^{30+6} \cdot b^{36+6} = a^{36}b^{42} $$ Преобразуем знаменатель дроби: $$ \left(b^{4}\right)^{10} = b^{4 \cdot 10} = b^{40} $$ $$ \left(a^{7}\right)^{5} = a^{7 \cdot 5} = a^{35} $$ Знаменатель равен $a^{35}b^{40}$. Выполним деление числителя на знаменатель: $$ \frac{a^{36}b^{42}}{a^{35}b^{40}} = a^{36-35} \cdot b^{42-40} = a^{1}b^{2} = ab^{2} $$ Получили: $$ ab^{2} = ab^{2} $$ Тождество доказано. --- **2)** Проверим равенство: $$ \frac{\left(c^{8}\cdot d^{5}\right)^{11}\cdot\left(c^{7}\right)^{3}\cdot\left(d^{4}\right)^{2}}{\left(d^{31}\right)^{2}\cdot\left(c^{25}\right)^{4}}=c^{9}d $$ Преобразуем числитель дроби: $$ \left(c^{8}\cdot d^{5}\right)^{11} = \left(c^{8}\right)^{11} \cdot \left(d^{5}\right)^{11} = c^{8 \cdot 11} \cdot d^{5 \cdot 11} = c^{88}d^{55} $$ $$ \left(c^{7}\right)^{3} = c^{7 \cdot 3} = c^{21} $$ $$ \left(d^{4}\right)^{2} = d^{4 \cdot 2} = d^{8} $$ Перемножим степени с одинаковыми основаниями в числителе: $$ c^{88}d^{55} \cdot c^{21} \cdot d^{8} = c^{88+21} \cdot d^{55+8} = c^{109}d^{63} $$ Преобразуем знаменатель дроби: $$ \left(d^{31}\right)^{2} = d^{31 \cdot 2} = d^{62} $$ $$ \left(c^{25}\right)^{4} = c^{25 \cdot 4} = c^{100} $$ Знаменатель равен $c^{100}d^{62}$. Выполним деление числителя на знаменатель: $$ \frac{c^{109}d^{63}}{c^{100}d^{62}} = c^{109-100} \cdot d^{63-62} = c^{9}d^{1} = c^{9}d $$ Получили: $$ c^{9}d = c^{9}d $$ Равенство верно.