ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 5 - 5.16

Для доказательства воспользуемся свойствами степеней: - при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$; - при возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(ab)^n = a^n b^n$; - при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; - при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$. **1)** Докажем, что значение выражения равно нулю: $$ ((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2 $$ Упростим выражение по действиям: 1. Возведём степень в степень: $$ ((a^2)^3)^5 = a^{2 \cdot 3 \cdot 5} = a^{30} $$ 2. Возведём произведение в степень: $$ (a^{15}b)^2 = (a^{15})^2 \cdot b^2 = a^{15 \cdot 2} \cdot b^2 = a^{30}b^2 $$ 3. Выполним умножение и деление степеней с основанием $a$: $$ a^{30} \cdot a^{30}b^2 : a^{60} = (a^{30} \cdot a^{30} : a^{60}) \cdot b^2 = a^{30 + 30 - 60} \cdot b^2 = a^0 \cdot b^2 $$ Так как $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$), получаем: $$ 1 \cdot b^2 = b^2 $$ 4. Найдём значение всего выражения: $$ b^2 - b^2 = 0 $$ Тождество доказано: значение выражения равно $0$. --- **2)** Докажем, что значение выражения равно нулю: $$ (x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15} $$ Упростим выражение по действиям: 1. Возведём произведение в степень: $$ (x^5y)^3 = (x^5)^3 \cdot y^3 = x^{5 \cdot 3} \cdot y^3 = x^{15}y^3 $$ 2. Возведём степень в степень: $$ ((y^4)^3)^4 = y^{4 \cdot 3 \cdot 4} = y^{48} $$ 3. Выполним умножение и деление степеней с основанием $y$: $$ x^{15}y^3 \cdot y^{48} : y^{51} = x^{15} \cdot (y^3 \cdot y^{48} : y^{51}) = x^{15} \cdot y^{3 + 48 - 51} = x^{15} \cdot y^0 $$ Так как $y^0 = 1$ (при $y \neq 0$), получаем: $$ x^{15} \cdot 1 = x^{15} $$ 4. Найдём значение всего выражения: $$ x^{15} - x^{15} = 0 $$ Тождество доказано: значение выражения равно $0$.