ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова параграф 5 - 5.15

1) Вычислим значение выражения: $$ (100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33}) $$ Используем свойства степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и степени степени $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$: $$ (100^{10 \cdot 7} \cdot 9^{3 \cdot 7}) \cdot (100^{20 \cdot 2} \cdot 9^{6 \cdot 2}) : (100^{109} \cdot 9^{33}) = (100^{70} \cdot 9^{21}) \cdot (100^{40} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33}) $$ При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^n \cdot a^m = a^{n+m}$): $$ (100^{70 + 40} \cdot 9^{21 + 12}) : (100^{109} \cdot 9^{33}) = (100^{110} \cdot 9^{33}) : (100^{109} \cdot 9^{33}) $$ При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются ($a^n : a^m = a^{n-m}$): $$ 100^{110 - 109} \cdot 9^{33 - 33} = 100^1 \cdot 9^0 = 100 \cdot 1 = 100 $$ Ответ: $100$. --- 2) Вычислим значение выражения: $$ (0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2 $$ Возведем множители в скобках в соответствующие степени: $$ (0,15^{16 \cdot 5} \cdot 3^{7 \cdot 5}) \cdot (3^{3 \cdot 3} \cdot 0,15^{10 \cdot 3}) : (3^{20 \cdot 2} \cdot 0,15^{55 \cdot 2}) = (0,15^{80} \cdot 3^{35}) \cdot (3^9 \cdot 0,15^{30}) : (3^{40} \cdot 0,15^{110}) $$ Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим показатели степеней: $$ (0,15^{80 + 30} \cdot 3^{35 + 9}) : (0,15^{110} \cdot 3^{40}) = (0,15^{110} \cdot 3^{44}) : (0,15^{110} \cdot 3^{40}) $$ Выполним деление: $$ 0,15^{110 - 110} \cdot 3^{44 - 40} = 0,15^0 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81 $$ Ответ: $81$. --- 3) Вычислим значение выражения: $$ \left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10}\right)^{\frac{1}{10}} : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6}\right)^{5} $$ Раскроем внешние скобки, перемножив показатели степеней: $$ \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3 \cdot \frac{1}{10}} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10 \cdot \frac{1}{10}}\right) : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12 \cdot 5} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6 \cdot 5}\right) = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{10}} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1\right) : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}\right) $$ Разделим степени с одинаковыми основаниями: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{10} - 30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{1 - 60} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-\frac{297}{10}} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{-59} = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{297}{10}} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{59} $$ *Примечание:* так как в 7 классе изучаются только натуральные степени, в условии вероятна опечатка в показателе первой скобки (вместо $\frac{1}{10}$ должен стоять показатель $10$). В этом случае решение выглядит так: $$ \left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{10}\right)^{10} : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6}\right)^{5} = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{100}\right) : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}\right) $$ $$ = \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{30} : \left(\frac{3}{4}\right)^{30}\right) \cdot \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{100} : \left(\frac{4}{5}\right)^{60}\right) = 1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{40} = \left(\frac{4}{5}\right)^{40} $$ Ответ: $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{297}{10}} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{59}$ (при натуральном показателе $10$ ответ: $\left(\frac{4}{5}\right)^{40}$). --- 4) Вычислим значение выражения: $$ \left(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3\right)^8 \cdot \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27}\right)^2 $$ Применим правило возведения степени в степень: $$ \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{7 \cdot 8} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{3 \cdot 8}\right) \cdot \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11 \cdot 2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27 \cdot 2}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^{56} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{22} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{54} $$ Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели: $$ \left(\frac{5}{6}\right)^{56 + 54} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24 + 22} = \left(\frac{5}{6}\right)^{110} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{46} $$ *Примечание:* если между большими скобками стоял знак деления $:$ вместо знака умножения $\cdot$, то выражение упрощается до числового значения: $$ \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{56} : \left(\frac{5}{6}\right)^{54}\right) \cdot \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{24} : \left(\frac{6}{7}\right)^{22}\right) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49} $$ Ответ: $\left(\frac{5}{6}\right)^{110} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{46}$ (при делении скобок ответ: $\frac{25}{49}$).