ГДЗ по алгебре 7 класс Абылкасымова повторение курса - 27

**27.** **1)** Докажем, что значение выражения не зависит от переменной $a$: $$ \left( \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1} \right) \cdot \frac{a}{a + 1} - \frac{a}{a - 1} $$ Упростим выражение по действиям: 1. Выполним сложение в скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Общий знаменатель равен $(a - 1)(a + 1)$: $$ \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{4a}{(a - 1)(a + 1)} + \frac{(a - 1)(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{4a + (a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} $$ Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{4a + a^2 - 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a - 1)(a + 1)} $$ Свернём числитель по формуле квадрата суммы и сократим дробь на $(a + 1)$: $$ \frac{(a + 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1}{a - 1} $$ 2. Выполним умножение полученного результата на дробь $\frac{a}{a + 1}$: $$ \frac{a + 1}{a - 1} \cdot \frac{a}{a + 1} = \frac{(a + 1) \cdot a}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a}{a - 1} $$ 3. Выполним вычитание: $$ \frac{a}{a - 1} - \frac{a}{a - 1} = 0 $$ В результате упрощения получилось число $0$. Следовательно, при всех допустимых значениях переменной ($a \neq 1$, $a \neq -1$) значение выражения равно $0$ и не зависит от $a$. Что и требовалось доказать. --- **2)** Докажем, что значение выражения не зависит от переменной $a$: $$ \left( \frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a - 2}{a + 2} \right) \cdot \frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a - 2} $$ Упростим выражение по действиям: 1. Выполним сложение в скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Общий знаменатель равен $(a - 2)(a + 2)$: $$ \frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a - 2}{a + 2} = \frac{8a}{(a - 2)(a + 2)} + \frac{(a - 2)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{8a + (a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{8a + a^2 - 4a + 4}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^2 + 4a + 4}{(a - 2)(a + 2)} $$ Свернём числитель по формуле квадрата суммы и сократим дробь на $(a + 2)$: $$ \frac{(a + 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a + 2}{a - 2} $$ 2. Выполним умножение на дробь $\frac{a}{a + 2}$: $$ \frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{a}{a + 2} = \frac{(a + 2) \cdot a}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a}{a - 2} $$ 3. Выполним вычитание: $$ \frac{a}{a - 2} - \frac{a}{a - 2} = 0 $$ В результате преобразований получилось число $0$. Следовательно, при всех допустимых значениях переменной ($a \neq 2$, $a \neq -2$) значение выражения равно $0$ и не зависит от $a$. Что и требовалось доказать.