ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-4. вариант - 1

1. Упростим выражения, учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$: а) Воспользуемся свойством корня из произведения и корня из дроби: $$ \sqrt[3]{\frac{27a^5}{b^2}} \cdot \sqrt[3]{\frac{ab^{11}}{8}} = \sqrt[3]{\frac{27a^5 \cdot ab^{11}}{b^2 \cdot 8}} $$ Упростим выражение под знаком корня: $$ \sqrt[3]{\frac{27a^6 b^9}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{b^9}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3 \cdot a^{\frac{6}{3}} \cdot b^{\frac{9}{3}}}{2} = \frac{3a^2 b^3}{2} = 1{,}5a^2 b^3 $$ б) Применим свойство корня из корня $\sqrt[k]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[km]{b}$, откуда $\sqrt{\sqrt{b^{13}}} = \sqrt[4]{b^{13}}$. Приведем все корни к общему показателю $4$: $$ \sqrt{b^3} = \sqrt[4]{(b^3)^2} = \sqrt[4]{b^6} $$ Выполним деление и умножение корней одинаковой степени: $$ \sqrt[4]{b} : \sqrt{b^3} \cdot \sqrt{\sqrt{b^{13}}} = \sqrt[4]{b} : \sqrt[4]{b^6} \cdot \sqrt[4]{b^{13}} = \sqrt[4]{\frac{b \cdot b^{13}}{b^6}} = \sqrt[4]{\frac{b^{14}}{b^6}} = \sqrt[4]{b^8} $$ Так как $b > 0$, получаем: $$ \sqrt[4]{b^8} = b^{\frac{8}{4}} = b^2 $$ **Ответ:** а) $\dfrac{3a^2 b^3}{2}$ (или $1{,}5a^2 b^3$); б) $b^2$. --- 2. Решим уравнение: $$ \sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} - 12 = 0 $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, так как под корнем четной степени должно стоять неотрицательное число. Сделаем замену переменной: пусть $\sqrt[6]{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = t^2$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 + t - 12 = 0 $$ Найдем корни с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -1 \\ t_1 \cdot t_2 = -12 \end{cases} $$ Отсюда: $t_1 = 3$, $t_2 = -4$. Значение $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, является посторонним. Вернемся к замене для $t = 3$: $$ \sqrt[6]{x} = 3 $$ Возведем обе части уравнения в шестую степень: $$ x = 3^6 $$ $$ x = 729 $$ **Ответ:** $729$.