ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-26. вариант - 4

### 1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Дана функция: $$ y = \ln(2x - 3) + 2\ln(6 - x), \quad x \in [2; 5] $$ **Шаг 1. Область определения функции** Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными: $$ \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1{,}5 \\ x < 6 \end{cases} \implies x \in (1{,}5; 6) $$ Заданный отрезок $[2; 5]$ целиком входит в область определения, следовательно, функция непрерывна и дифференцируема на этом отрезке. **Шаг 2. Нахождение производной** Применяем правило дифференцирования сложной функции: $$ y' = \frac{1}{2x - 3} \cdot (2x - 3)' + 2 \cdot \frac{1}{6 - x} \cdot (6 - x)' = \frac{2}{2x - 3} - \frac{2}{6 - x} $$ **Шаг 3. Нахождение критических точек** Приравняем производную к нулю: $$ \frac{2}{2x - 3} - \frac{2}{6 - x} = 0 $$ $$ \frac{2}{2x - 3} = \frac{2}{6 - x} $$ $$ 2x - 3 = 6 - x $$ $$ 3x = 9 \implies x = 3 $$ Критическая точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[2; 5]$. **Шаг 4. Вычисление значений функции в критической точке и на концах отрезка** - В точке $x = 3$: $$ y(3) = \ln(2 \cdot 3 - 3) + 2\ln(6 - 3) = \ln 3 + 2\ln 3 = 3\ln 3 = \ln(3^3) = \ln 27 $$ - На левом конце $x = 2$: $$ y(2) = \ln(2 \cdot 2 - 3) + 2\ln(6 - 2) = \ln 1 + 2\ln 4 = 0 + 2\ln 4 = \ln(4^2) = \ln 16 $$ - На правом конце $x = 5$: $$ y(5) = \ln(2 \cdot 5 - 3) + 2\ln(6 - 5) = \ln 7 + 2\ln 1 = \ln 7 + 0 = \ln 7 $$ Так как функция $y = \ln t$ строго возрастает при $t > 0$ и $7 < 16 < 27$, получаем: $$ \ln 7 < \ln 16 < \ln 27 $$ Значит: $$ y_{\text{наиб}} = \ln 27 = 3\ln 3 $$ $$ y_{\text{наим}} = \ln 7 $$ **Ответ:** наибольшее значение равно $3\ln 3$ (или $\ln 27$), наименьшее значение равно $\ln 7$. --- ### 2. Угол между касательной и положительным лучом оси абсцисс Дана функция: $$ y = 2\ln 3x - e^{x^{-1}} $$ Точка касания: $x = 1$. **Шаг 1. Геометрический смысл производной** Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания и тангенсу угла $\alpha$ наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$: $$ k = \operatorname{tg} \alpha = y'(1) $$ **Шаг 2. Нахождение производной** Запишем функцию в виде $y = 2\ln 3x - e^{\frac{1}{x}}$ и найдем её производную: $$ (2\ln 3x)' = 2 \cdot \frac{1}{3x} \cdot (3x)' = 2 \cdot \frac{3}{3x} = \frac{2}{x} $$ $$ (e^{x^{-1}})' = e^{x^{-1}} \cdot (x^{-1})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} $$ Таким образом: $$ y' = \frac{2}{x} - \left(-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\right) = \frac{2}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} $$ **Шаг 3. Вычисление значения производной в точке $x = 1$** $$ y'(1) = \frac{2}{1} + \frac{e^{\frac{1}{1}}}{1^2} = 2 + e $$ **Шаг 4. Нахождение угла** $$ \operatorname{tg} \alpha = 2 + e \implies \alpha = \operatorname{arctg}(2 + e) $$ *(Примечание: если в условии опечатка и показатель степени равен $x - 1$, то есть $y = 2\ln 3x - e^{x - 1}$, то производная принимает вид $y' = \frac{2}{x} - e^{x - 1}$, тогда $y'(1) = 2 - e^0 = 1$, откуда $\operatorname{tg} \alpha = 1$ и $\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$).* **Ответ:** $\operatorname{arctg}(2 + e)$ (или $45^\circ$, если функция имеет вид $y = 2\ln 3x - e^{x-1}$).