ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 97

**а)** Решим уравнение: $$ 4 \log_9 (x-2) + \log_3 (x-4)^2 = 0 $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2 \\ x \neq 4 \end{cases} \iff x \in (2; 4) \cup (4; +\infty) $$ 2. Преобразуем первое слагаемое, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ 4 \log_9 (x-2) = 4 \log_{3^2} (x-2) = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_3 (x-2) = 2 \log_3 (x-2) = \log_3 (x-2)^2 $$ 3. Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \log_3 (x-2)^2 + \log_3 (x-4)^2 = 0 $$ Используя свойство суммы логарифмов, получаем: $$ \log_3 \left( (x-2)^2 (x-4)^2 \right) = 0 $$ $$ \left( (x-2)(x-4) \right)^2 = 3^0 $$ $$ (x^2 - 6x + 8)^2 = 1 $$ Отсюда возможны два случая: 1) $x^2 - 6x + 8 = 1$ $$ x^2 - 6x + 7 = 0 $$ $$ D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot 7 = 9 - 7 = 2 $$ $$ x = 3 \pm \sqrt{2} $$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 2$ и $x \neq 4$): * $x_1 = 3 + \sqrt{2} \approx 4{,}41$ — входит в ОДЗ; * $x_2 = 3 - \sqrt{2} \approx 1{,}59 < 2$ — не входит в ОДЗ. 2) $x^2 - 6x + 8 = -1$ $$ x^2 - 6x + 9 = 0 $$ $$ (x - 3)^2 = 0 \implies x_3 = 3 $$ Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($2 < 3 < 4$). **Ответ:** $3; \; 3 + \sqrt{2}$. --- **б)** Решим уравнение: $$ \log_2 182 - 4 \log_4 \sqrt{5-x} = \log_2 (11-x) + 1 $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ 11 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 5 \\ x < 11 \end{cases} \iff x < 5 $$ 2. Преобразуем второе слагаемое в левой части уравнения: $$ 4 \log_4 \sqrt{5-x} = 4 \log_{2^2} (5-x)^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \log_2 (5-x) = \log_2 (5-x) $$ Представим $1$ в правой части как $\log_2 2$: $$ \log_2 182 - \log_2 (5-x) = \log_2 (11-x) + \log_2 2 $$ 3. Применим свойства разности и суммы логарифмов: $$ \log_2 \frac{182}{5-x} = \log_2 (2(11-x)) $$ Потенцируя, получаем: $$ \frac{182}{5-x} = 2(11-x) $$ Разделим обе части на $2$: $$ \frac{91}{5-x} = 11-x $$ Так как $x < 5$, то $5 - x \neq 0$: $$ 91 = (11-x)(5-x) $$ $$ 91 = 55 - 16x + x^2 $$ $$ x^2 - 16x - 36 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 16 \\ x_1 \cdot x_2 = -36 \end{cases} \implies x_1 = 18, \; x_2 = -2 $$ Проверим корни по ОДЗ ($x < 5$): * $x = 18$ — не подходит ($18 > 5$); * $x = -2$ — подходит ($-2 < 5$). **Ответ:** $-2$. --- **в)** Решим уравнение: $$ \log_x \sqrt{3} - \log_x^2 \sqrt{3} = \log_3 27 - \log_x (3x) $$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 3x > 0 \end{cases} \iff x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. Преобразуем каждое слагаемое: * $\log_x \sqrt{3} = \log_x 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_x 3$; * $\log_x^2 \sqrt{3} = \left(\frac{1}{2} \log_x 3\right)^2 = \frac{1}{4} \log_x^2 3$; * $\log_3 27 = 3$; * $\log_x (3x) = \log_x 3 + \log_x x = \log_x 3 + 1$. 3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$ \frac{1}{2} \log_x 3 - \frac{1}{4} \log_x^2 3 = 3 - (\log_x 3 + 1) $$ $$ \frac{1}{2} \log_x 3 - \frac{1}{4} \log_x^2 3 = 2 - \log_x 3 $$ Пусть $t = \log_x 3$. Тогда уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} t^2 = 2 - t $$ Умножим обе части уравнения на $4$: $$ 2t - t^2 = 8 - 4t $$ $$ t^2 - 6t + 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = 4 $$ 4. Выполним обратную замену: 1) $\log_x 3 = 2$ По определению логарифма: $$ x^2 = 3 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$): $$ x = \sqrt{3} $$ 2) $\log_x 3 = 4$ По определению логарифма: $$ x^4 = 3 $$ С учётом ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$): $$ x = \sqrt[4]{3} $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ. **Ответ:** $\sqrt[4]{3}; \; \sqrt{3}$.