ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 100

а) $\log_{3x} 4 - \log_{3x} 2 = 1$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы: $$ \begin{cases} 3x > 0, \\ 3x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ x \neq \dfrac{1}{3}. \end{cases} $$ 2. Используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b - \log_a c = \log_a \dfrac{b}{c}$, преобразуем левую часть уравнения: $$ \log_{3x} \left(\dfrac{4}{2}\right) = 1 $$ $$ \log_{3x} 2 = 1 $$ 3. По определению логарифма: $$ (3x)^1 = 2 $$ $$ 3x = 2 $$ $$ x = \dfrac{2}{3} $$ Значение $x = \dfrac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\dfrac{2}{3}$. б) $\log_{2x} 9 + \log_{2x} 3 = 3$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x > 0, \\ 2x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0, \\ x \neq \dfrac{1}{2}. \end{cases} $$ 2. Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$, преобразуем левую часть: $$ \log_{2x} (9 \cdot 3) = 3 $$ $$ \log_{2x} 27 = 3 $$ 3. По определению логарифма: $$ (2x)^3 = 27 $$ $$ 8x^3 = 27 $$ $$ x^3 = \dfrac{27}{8} $$ $$ x = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} $$ $$ x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 $$ Значение $x = 1{,}5$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $1{,}5$.