ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 99

а) Решим уравнение: $$ 18^x - 9^{x+1} - 2^{x+2} + 36 = 0 $$ Используя свойства степеней $18^x = (9 \cdot 2)^x = 9^x \cdot 2^x$, $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x$ и $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$, перепишем уравнение: $$ 9^x \cdot 2^x - 9 \cdot 9^x - 4 \cdot 2^x + 36 = 0 $$ Разложим левую часть на множители методом группировки: $$ 9^x(2^x - 9) - 4(2^x - 9) = 0 $$ $$ (9^x - 4)(2^x - 9) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $9^x - 4 = 0$ $$ 9^x = 4 $$ $$ x = \log_9 4 = \log_{3^2} 2^2 = \log_3 2 $$ 2) $2^x - 9 = 0$ $$ 2^x = 9 $$ $$ x = \log_2 9 $$ Ответ к пункту а): $\log_3 2$; $\log_2 9$. б) В условии данного номера из учебника содержится опечатка оптического распознавания: в первом слагаемом основание и аргумент поменялись местами (оба логарифма в левой части имеют основание $\sqrt{x}$). Запишем исходное уравнение из учебника: $$ \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) + \log_{\sqrt{x}} (\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6}) $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): Для оснований логарифмов должно выполняться: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Подкоренные и логарифмируемые выражения положительны: $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} > 0$; $\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} > 0$, так как $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} > 5 = (\sqrt{5})^2$; $2\sqrt{6} > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. 2. Преобразуем сумму логарифмов в левой части уравнения в логарифм произведения: $$ \log_{\sqrt{x}} \bigl((\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})\bigr) $$ Применим формулу разности квадратов к выражению под знаком логарифма: $$ \bigl((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\bigr)\bigl((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}\bigr) = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5 = 2\sqrt{6} $$ Левая часть принимает вид: $$ \log_{\sqrt{x}} (2\sqrt{6}) $$ 3. Перейдём к основанию $x$, учитывая, что $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$: $$ \log_{x^{\frac{1}{2}}} (2\sqrt{6}) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_x (2\sqrt{6}) = 2\log_x (2\sqrt{6}) $$ 4. Подставим полученное выражение в уравнение: $$ 2\log_x (2\sqrt{6}) = \frac{3}{2} + \log_x (2\sqrt{6}) $$ $$ 2\log_x (2\sqrt{6}) - \log_x (2\sqrt{6}) = \frac{3}{2} $$ $$ \log_x (2\sqrt{6}) = \frac{3}{2} $$ 5. По определению логарифма: $$ x^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{6} $$ Возведём обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$: $$ x = (2\sqrt{6})^{\frac{2}{3}} = \bigl((2\sqrt{6})^2\bigr)^{\frac{1}{3}} = (4 \cdot 6)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{3} $$ Значение $x = 2\sqrt[3]{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$, $x \neq 1$). Ответ к пункту б): $2\sqrt[3]{3}$.