ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 94

**а)** $2^{2x+1} \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x}$ Используем свойства степеней в левой части уравнения: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x$. Перепишем уравнение: $$ 2 \cdot 4^x \cdot 3^x = 2 \cdot 12^{4-x} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 4^x \cdot 3^x = 12^{4-x} $$ Так как $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$, получаем: $$ (4 \cdot 3)^x = 12^{4-x} $$ $$ 12^x = 12^{4-x} $$ Поскольку основания одинаковы и отличны от единицы, приравниваем показатели степеней: $$ x = 4 - x $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **б)** $2^{2x-1} \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x}$ Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. В левой части используем свойство степени: $2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = 0,5 \cdot (2^2)^x = 0,5 \cdot 4^x$. Подставим полученное выражение в уравнение: $$ 0,5 \cdot 4^x \cdot 3^x = 0,5 \cdot 12^{4-x} $$ Разделим обе части уравнения на $0,5$: $$ 4^x \cdot 3^x = 12^{4-x} $$ $$ (4 \cdot 3)^x = 12^{4-x} $$ $$ 12^x = 12^{4-x} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x = 4 - x $$ $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. --- **в)** $9 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 18 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 9 = 0$ Разделим обе части уравнения на $9$: $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{2x^2} - 2 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} + 1 = 0 $$ Свернем выражение в левой части по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} - 1\right)^2 = 0 $$ Отсюда следует: $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} - 1 = 0 $$ $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = 1 $$ Представим $1$ как $\left(\frac{5}{3}\right)^0$: $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{x^2} = \left(\frac{5}{3}\right)^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x^2 = 0 $$ $$ x = 0 $$ Ответ: $0$.