ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 48

**а) $\log_2(x^2 - 5x - 34) > \log_2(x + 6)$** Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется, при этом меньшее подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 5x - 34 > x + 6 \\ x + 6 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $$ x^2 - 6x - 40 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 40 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 10$. Разложим на множители: $$ (x + 4)(x - 10) > 0 \implies x \in (-\infty; -4) \cup (10; +\infty) $$ Решим второе неравенство: $$ x > -6 $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -4) \cup (10; +\infty) \\ x > -6 \end{cases} \implies x \in (-6; -4) \cup (10; +\infty) $$ Ответ: $(-6; -4) \cup (10; +\infty)$. --- **b) $\log_{0.5}(x^2 - 16) > \log_{0.5}(3x + 38)$** Так как основание логарифма $0 < 0{,}5 < 1$, функция $y = \log_{0.5} t$ является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный, и меньшее подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 16 < 3x + 38 \\ x^2 - 16 > 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ x^2 - 3x - 54 < 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 54 = 0$: $x_1 = -6$, $x_2 = 9$. $$ (x + 6)(x - 9) < 0 \implies x \in (-6; 9) $$ 2. Решим второе неравенство: $$ (x - 4)(x + 4) > 0 \implies x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) $$ Пересечем полученные промежутки: $$ \begin{cases} x \in (-6; 9) \\ x \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-6; -4) \cup (4; 9) $$ Ответ: $(-6; -4) \cup (4; 9)$. --- **c) $\log_3(x^2 - 4) < \log_3(44 - 2x)$** Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ возрастает. Знак неравенства сохраняется, а меньшее выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 4 < 44 - 2x \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ x^2 + 2x - 48 < 0 $$ Корни уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$: $x_1 = -8$, $x_2 = 6$. $$ (x + 8)(x - 6) < 0 \implies x \in (-8; 6) $$ 2. Решим второе неравенство: $$ (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-8; 6) \\ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-8; -2) \cup (2; 6) $$ Ответ: $(-8; -2) \cup (2; 6)$. --- **d) $\log_{0.5}(x^2 - 22) < \log_{0.5}(3x + 18)$** Так как основание логарифма $0 < 0{,}5 < 1$, функция $y = \log_{0.5} t$ убывает. Знак неравенства меняется на противоположный, а меньшее выражение под логарифмом должно быть положительным. Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 22 > 3x + 18 \\ 3x + 18 > 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство: $$ x^2 - 3x - 40 > 0 $$ Корни уравнения $x^2 - 3x - 40 = 0$: $x_1 = -5$, $x_2 = 8$. $$ (x + 5)(x - 8) > 0 \implies x \in (-\infty; -5) \cup (8; +\infty) $$ 2. Решим второе неравенство: $$ 3x > -18 \implies x > -6 $$ Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -5) \cup (8; +\infty) \\ x > -6 \end{cases} \implies x \in (-6; -5) \cup (8; +\infty) $$ Ответ: $(-6; -5) \cup (8; +\infty)$.