ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 28

**а)** $10^{\lg\left(x^2 + 5x - 1\right)} = 3x + 2$ Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ при условии $b > 0$, перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x^2 + 5x - 1 = 3x + 2, \\ 3x + 2 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 + 5x - 1 - 3x - 2 = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Проверим условие $3x + 2 > 0$: 1. При $x = -3$: $3 \cdot (-3) + 2 = -7 < 0$ — не удовлетворяет условию (посторонний корень). 2. При $x = 1$: $3 \cdot 1 + 2 = 5 > 0$ — условие выполняется. Ответ: $1$. --- **б)** $10^{\lg\left(x^2 - 3x + 1\right)} = x - 2$ По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 3x + 1 = x - 2, \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ x^2 - 3x + 1 - x + 2 = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Проверим условие $x - 2 > 0$: 1. При $x = 1$: $1 - 2 = -1 < 0$ — не удовлетворяет условию (посторонний корень). 2. При $x = 3$: $3 - 2 = 1 > 0$ — условие выполняется. Ответ: $3$. --- **в)** $2^{\log_2\left(2x^2 + 5x - 1\right)} = x^2 - 7$ По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 1 = x^2 - 7, \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ 2x^2 + 5x - 1 - x^2 + 7 = 0 $$ $$ x^2 + 5x + 6 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$. Проверим условие $x^2 - 7 > 0$: 1. При $x = -2$: $(-2)^2 - 7 = 4 - 7 = -3 < 0$ — не удовлетворяет условию (посторонний корень). 2. При $x = -3$: $(-3)^2 - 7 = 9 - 7 = 2 > 0$ — условие выполняется. Ответ: $-3$. --- **г)** $5^{\log_5\left(3x^2 + 4x - 1\right)} = 2x^2 - 4$ По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x^2 + 4x - 1 = 2x^2 - 4, \\ 2x^2 - 4 > 0 \end{cases} $$ Решим уравнение системы: $$ 3x^2 + 4x - 1 - 2x^2 + 4 = 0 $$ $$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Проверим условие $2x^2 - 4 > 0$: 1. При $x = -1$: $2 \cdot (-1)^2 - 4 = 2 - 4 = -2 < 0$ — не удовлетворяет условию (посторонний корень). 2. При $x = -3$: $2 \cdot (-3)^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 14 > 0$ — условие выполняется. Ответ: $-3$.