ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 25

**а)** $(6 \sin^2 x - 5)^{13} < (2 \sin^2 x - 2)^{13}$ Так как функция $f(t) = t^{13}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, знак неравенства при переходе к основаниям степеней сохраняется: $$ 6 \sin^2 x - 5 < 2 \sin^2 x - 2 $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: $$ 6 \sin^2 x - 2 \sin^2 x < -2 + 5 $$ $$ 4 \sin^2 x < 3 $$ $$ \sin^2 x < \frac{3}{4} $$ Неравенство равносильно системе: $$ -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Используя единичную окружность, получаем множество решений: $$ -\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **b)** $(6 \cos^2 x - 3)^3 > (2 \cos^2 x - 1)^3$ Так как функция $f(t) = t^3$ строго возрастает на $\mathbb{R}$, данное неравенство равносильно неравенству: $$ 6 \cos^2 x - 3 > 2 \cos^2 x - 1 $$ Перенесем члены с переменной влево, а свободные члены вправо: $$ 6 \cos^2 x - 2 \cos^2 x > -1 + 3 $$ $$ 4 \cos^2 x > 2 $$ $$ \cos^2 x > \frac{1}{2} $$ Неравенство равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{aligned} \cos x &> \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x &< -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. $$ По единичной окружности находим решение: $$ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **c)** $(2^x + 7)^9 > (3 \cdot 2^x + 1)^9$ Так как функция $f(t) = t^9$ строго возрастает на $\mathbb{R}$, перейдем к основаниям: $$ 2^x + 7 > 3 \cdot 2^x + 1 $$ Перенесем слагаемые с $2^x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую: $$ 7 - 1 > 3 \cdot 2^x - 2^x $$ $$ 6 > 2 \cdot 2^x $$ Разделим обе части на $2$: $$ 2^x < 3 $$ Поскольку показательная функция $y = 2^x$ монотонно возрастает (основание $2 > 1$): $$ x < \log_2 3 $$ Ответ: $x \in (-\infty; \log_2 3)$. --- **d)** $(2 \cdot 3^x - 1)^{51} < (3^x + 8)^{51}$ Так как функция $f(t) = t^{51}$ строго возрастает на $\mathbb{R}$, неравенство равносильно следующему: $$ 2 \cdot 3^x - 1 < 3^x + 8 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ 2 \cdot 3^x - 3^x < 8 + 1 $$ $$ 3^x < 9 $$ Запишем правую часть в виде степени числа $3$: $$ 3^x < 3^2 $$ Так как основание $3 > 1$, показательная функция $y = 3^x$ возрастает, поэтому: $$ x < 2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.