ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 79

При вращении графика функции $y = x^2$ при $-2 \leqslant x \leqslant 2$ вокруг оси $Oy$ получается тело вращения (параболоид), ограниченное снизу точкой $(0; 0)$, а сверху плоскостью $y = 4$, так как при $x = \pm 2$ значение $y = (\pm 2)^2 = 4$. Поскольку график функции симметричен относительно оси $Oy$, достаточно рассмотреть ветвь при $0 \leqslant x \leqslant 2$. Выразим переменную $x$ через $y$: так как $x \geqslant 0$, то $x = \sqrt{y}$, следовательно, $x^2 = y$. Переменная $y$ изменяется в пределах от $y = 0$ до $y = 4$. Объём тела, полученного вращением вокруг оси $Oy$, вычисляется по формуле: $$ V = \pi \int_{c}^{d} x^2 \, dy $$ Подставим пределы интегрирования и выражение для $x^2$: $$ V = \pi \int_{0}^{4} y \, dy $$ Найдём первообразную и вычислим определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница: $$ V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi $$ Ответ: $8\pi$.