ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 40

**а)** В предыдущем задании рассматривалось вычисление определённого интеграла $\int_{0}^{1} x \, dx$ (или в общем виде $\int_{0}^{a} x \, dx$) с помощью приближённого метода интегральных сумм, где результат вычислений равен $0{,}5$. Найдём значение интеграла геометрически как площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x$, осью абсцисс $Ox$ и прямой $x = 1$. Данная фигура представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0; 0)$, $(1; 0)$ и $(1; 1)$. Длины его катетов: — основание (на оси $Ox$): $a = 1 - 0 = 1$; — высота (вдоль прямой $x = 1$): $h = f(1) = 1$. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $$ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h $$ Подставим значения: $$ S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ По геометрическому смыслу определённого интеграла: $$ \int_{0}^{1} x \, dx = S = 0{,}5 $$ **Сравнение результатов:** Результат геометрического вычисления через площадь треугольника ($0{,}5$) в точности совпадает с результатом, полученным в предыдущем задании с помощью приближённого метода. --- **б)** Приближённый метод вычисления определённого интеграла (метод прямоугольников по средним точкам) для линейной функции $f(x) = kx + b$ даёт абсолютно точный результат по следующим причинам: 1. На каждом элементарном отрезке разбиения $[x_{m-1}; x_m]$ точная площадь под графиком представляет собой площадь прямоугольной трапеции с основаниями $f(x_{m-1})$ и $f(x_m)$ и высотой $\Delta x_m = x_m - x_{m-1}$: $$ S_{\text{трап}} = \frac{f(x_{m-1}) + f(x_m)}{2} \cdot \Delta x_m $$ 2. В методе средних прямоугольников высота прямоугольника выбирается в средней точке отрезка $c_m = \frac{x_{m-1} + x_m}{2}$. Для любой линейной функции значение в средней точке отрезка равно среднему арифметическому значений на его концах (длине средней линии трапеции): $$ f(c_m) = f\left(\frac{x_{m-1} + x_m}{2}\right) = \frac{f(x_{m-1}) + f(x_m)}{2} $$ 3. Площадь приближающего прямоугольника равна: $$ S_{\text{прям}} = f(c_m) \cdot \Delta x_m = \frac{f(x_{m-1}) + f(x_m)}{2} \cdot \Delta x_m = S_{\text{трап}} $$ Геометрически это означает, что горизонтальная верхняя сторона прямоугольника делит отрезок прямой $y = f(x)$ пополам: треугольник избытка (где прямоугольник выше графика) равен по площади треугольнику недостатка (где прямоугольник ниже графика). Из-за симметрии эти погрешности взаимно уничтожаются на каждом шаге разбиения. Таким образом, сумма площадей прямоугольников точно равна сумме площадей трапеций, то есть точной площади всей фигуры под графиком линейной функции.