ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 57

**а)** Найдите наименьшее значение функции $$ y = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 1}. $$ Знаменатель дроби: $$ x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $$ при всех $x \in \mathbb{R}$, поэтому функция определена на всей числовой прямой. Выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком» или преобразовав числитель: $$ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^4 - 2x^3 + 2x^2) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^2(x^2 - 2x + 1) + (x - 1)^2 + 1. $$ Заметим, что: $$ (x^2 - x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1. $$ Тогда числитель можно записать в виде: $$ x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = (x^2 - x + 1)^2 + 1. $$ Подставим это выражение в формулу функции: $$ y = \frac{(x^2 - x + 1)^2 + 1}{x^2 - x + 1} = (x^2 - x + 1) + \frac{1}{x^2 - x + 1}. $$ Сделаем замену переменной $t = x^2 - x + 1$. Так как: $$ t = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}, $$ то наименьшее значение $t$ достигается при $x = \frac{1}{2}$ и равно $t_{\min} = \frac{3}{4}$. Следовательно, $t \in \left[\frac{3}{4}; +\infty\right)$. Рассмотрим функцию $f(t) = t + \frac{1}{t}$ при $t \ge \frac{3}{4}$. По неравенству о средних (или с помощью производной $f'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$), для положительных $t$ функция $f(t) = t + \frac{1}{t} \ge 2$, причем равенство достигается при $t = 1$. Поскольку значение $t = 1$ принадлежит области значений переменной $t$ ($1 \ge \frac{3}{4}$), то наименьшее значение функции $y$ равно $2$. Проверим, при каких $x$ достигается это значение: $$ x^2 - x + 1 = 1 \iff x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0 \iff x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1. $$ Ответ к пункту а: $2$. --- **б)** Найдите наибольшее значение функции $$ y = \frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x - 2 - x^2}. $$ Знаменатель дроби: $$ x - 2 - x^2 = -(x^2 - x + 2) = -\left(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}\right) < 0 $$ при всех $x \in \mathbb{R}$, поэтому функция определена на всей числовой прямой. Перепишем функцию, вынеся знак «минус» из знаменателя: $$ y = -\frac{x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5}{x^2 - x + 2}. $$ Преобразуем числитель: $$ (x^2 - x + 2)^2 = x^4 + x^2 + 4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4. $$ Следовательно: $$ x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 5 = (x^2 - x + 2)^2 + 1. $$ Подставим полученное выражение в функцию: $$ y = -\frac{(x^2 - x + 2)^2 + 1}{x^2 - x + 2} = -\left((x^2 - x + 2) + \frac{1}{x^2 - x + 2}\right). $$ Сделаем замену переменной $t = x^2 - x + 2$. Так как: $$ t = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4}, $$ то $t \ge \frac{7}{4}$, то есть $t \in \left[\frac{7}{4}; +\infty\right)$. Рассмотрим выражение в скобках: $g(t) = t + \frac{1}{t}$. Его производная равна $g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$. При $t \ge \frac{7}{4} > 1$ производная $g'(t) > 0$, следовательно, функция $g(t)$ строго возрастает на промежутке $\left[\frac{7}{4}; +\infty\right)$. Значит, наименьшее значение функции $g(t)$ на этом промежутке достигается на его левом конце, при $t = \frac{7}{4}$: $$ g\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{7}{4} + \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{7}{4} + \frac{4}{7} = \frac{49 + 16}{28} = \frac{65}{28}. $$ Функция $y = -g(t)$ принимает наибольшее значение там, где $g(t)$ принимает наименьшее значение: $$ y_{\max} = -g\left(\frac{7}{4}\right) = -\frac{65}{28}. $$ Это значение достигается при $t = \frac{7}{4}$, то есть при $x = \frac{1}{2}$. Ответ к пункту б: $-\frac{65}{28}$. --- Ответ: а) $2$; б) $-\frac{65}{28}$.