ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 56

а) Для нахождения координат общих точек графиков функций решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x + 7}, \\ y - x - 1 = 0. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = x + 1. $$ Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x + 7} = x + 1. $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 1 \ge 0, \\ x + 7 = (x + 1)^2. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x + 7 = x^2 + 2x + 1, $$ $$ x^2 + x - 6 = 0. $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = -3. $$ Проверим условие $x + 1 \ge 0$: 1) при $x = 2$: $2 + 1 = 3 \ge 0$ — условие выполняется; 2) при $x = -3$: $-3 + 1 = -2 < 0$ — корень посторонний. Найдем ординату точки при $x = 2$: $$ y = 2 + 1 = 3. $$ Координаты общей точки: $(2; 3)$. б) Для нахождения координат общих точек графиков функций решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x - 4}, \\ y - 2x + 9 = 0. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 2x - 9. $$ Приравняем правые части уравнений: $$ \sqrt{x - 4} = 2x - 9. $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x - 9 \ge 0, \\ x - 4 = (2x - 9)^2. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x - 4 = 4x^2 - 36x + 81, $$ $$ 4x^2 - 37x + 85 = 0. $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 85 = 1369 - 1360 = 9 = 3^2. $$ Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{37 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{40}{8} = 5, $$ $$ x_2 = \frac{37 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{34}{8} = 4,25. $$ Проверим условие $2x - 9 \ge 0$ (то есть $x \ge 4,5$): 1) при $x = 5$: $5 \ge 4,5$ — условие выполняется; 2) при $x = 4,25$: $4,25 < 4,5$ — корень посторонний. Найдем ординату точки при $x = 5$: $$ y = 2 \cdot 5 - 9 = 1. $$ Координаты общей точки: $(5; 1)$. Ответ: а) $(2; 3)$; б) $(5; 1)$.