ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 60

**а)** По условию функция $f(x)$ является периодической с основным периодом $T = 8$. Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство: $$ f(2x + 16) = f(2x + 2 \cdot 8) = f(2x) $$ Исходное уравнение принимает вид: $$ f(2x) + 23 = 5f(x) $$ Каждое действительное число $x$ можно представить в виде $x = 8k + t$, где $k \in \mathbb{Z}$, а $t \in [0; 8)$. Тогда $f(x) = f(t) = 8t - t^2$, а аргумент $2x = 16k + 2t$, откуда в силу периодичности $f(2x) = f(2t)$. Так как $t \in [0; 8)$, то $2t \in [0; 16)$. Рассмотрим два случая: 1) Пусть $2t \in [0; 8)$, то есть $t \in [0; 4)$. В этом случае: $$ f(2t) = 8(2t) - (2t)^2 = 16t - 4t^2 $$ Подставим в уравнение: $$ 16t - 4t^2 + 23 = 5(8t - t^2) $$ $$ 16t - 4t^2 + 23 = 40t - 5t^2 $$ $$ t^2 - 24t + 23 = 0 $$ По теореме Виета корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 23$. Условию $t \in [0; 4)$ удовлетворяет только $t = 1$. Тогда $x = 1 + 8k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) Пусть $2t \in [8; 16)$, то есть $t \in [4; 8)$. Тогда $2t - 8 \in [0; 8)$, и в силу периодичности: $$ f(2t) = f(2t - 8) = 8(2t - 8) - (2t - 8)^2 = 16t - 64 - (4t^2 - 32t + 64) = -4t^2 + 48t - 128 $$ Подставим в уравнение: $$ -4t^2 + 48t - 128 + 23 = 5(8t - t^2) $$ $$ -4t^2 + 48t - 105 = 40t - 5t^2 $$ $$ t^2 + 8t - 105 = 0 $$ Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-105) = 64 + 420 = 484 = 22^2$. $$ t = \frac{-8 \pm 22}{2} \implies t_1 = 7, \quad t_2 = -15 $$ Условию $t \in [4; 8)$ удовлетворяет только $t = 7$. Тогда $x = 7 + 8k$, где $k \in \mathbb{Z}$. **Ответ к пункту а:** $x = 1 + 8k$; $x = 7 + 8k$, $k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** По условию функция $f(x)$ является периодической с периодом $T = 1$. Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$: $$ f(2x + 5) = f(2x + 5 \cdot 1) = f(2x) $$ Уравнение принимает вид: $$ f(2x) + 2f(x) = 1 $$ Представим $x$ в виде $x = k + t$, где $k \in \mathbb{Z}$, а $t \in [0; 1)$. Тогда $f(x) = f(t) = t^2$, а $f(2x) = f(2k + 2t) = f(2t)$. Так как $t \in [0; 1)$, то $2t \in [0; 2)$. Рассмотрим два случая: 1) Пусть $2t \in [0; 1)$, то есть $t \in [0; 0{,}5)$. Тогда: $$ f(2t) = (2t)^2 = 4t^2 $$ Подставим в уравнение: $$ 4t^2 + 2t^2 = 1 $$ $$ 6t^2 = 1 $$ $$ t^2 = \frac{1}{6} $$ Так как $t \in [0; 0{,}5)$, выбираем неотрицательный корень: $$ t = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} $$ Поскольку $\sqrt{6} < \sqrt{9} = 3$, то $\frac{\sqrt{6}}{6} < \frac{3}{6} = 0{,}5$, значит, значение входит в интервал $[0; 0{,}5)$. Тогда $x = \frac{\sqrt{6}}{6} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) Пусть $2t \in [1; 2)$, то есть $t \in [0{,}5; 1)$. Тогда $2t - 1 \in [0; 1)$, и в силу периодичности: $$ f(2t) = f(2t - 1) = (2t - 1)^2 = 4t^2 - 4t + 1 $$ Подставим в уравнение: $$ (4t^2 - 4t + 1) + 2t^2 = 1 $$ $$ 6t^2 - 4t = 0 $$ $$ 2t(3t - 2) = 0 $$ $$ t_1 = 0, \quad t_2 = \frac{2}{3} $$ Условию $t \in [0{,}5; 1)$ удовлетворяет только $t = \frac{2}{3}$. Тогда $x = \frac{2}{3} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. **Ответ к пункту б:** $x = \frac{\sqrt{6}}{6} + k$; $x = \frac{2}{3} + k$, $k \in \mathbb{Z}$.