ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 55

**а)** $y = \sqrt{x^2 - x - 2} + \log_{3+x}(9 - x^2)$ Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, под знаком логарифма — строго положительным, а основание логарифма — строго положительным и отличным от единицы. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0, \\ 9 - x^2 > 0, \\ 3 + x > 0, \\ 3 + x \ne 1. \end{cases} $$ Решим каждое условие системы: 1. Решим неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$: Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, получаем: $x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$. 2. Решим неравенство $9 - x^2 > 0$: $(3 - x)(3 + x) > 0 \iff x^2 < 9 \iff x \in (-3; 3)$. 3. Решим неравенство $3 + x > 0$: $x > -3 \iff x \in (-3; +\infty)$. 4. Решим условие $3 + x \ne 1$: $x \ne -2$. Найдем пересечение всех полученных промежутков: - Из условий (2), (3) и (4) имеем: $x \in (-3; -2) \cup (-2; 3)$. - Пересекая с условием (1), получаем: $((-3; -2) \cup (-2; 3)) \cap ((-\infty; -1] \cup [2; +\infty)) = (-3; -2) \cup (-2; -1] \cup [2; 3)$. **Ответ:** $D(y) = (-3; -2) \cup (-2; -1] \cup [2; 3)$ --- **б)** $y = \sqrt{12 - x - x^2} \cdot \log_{\frac{1}{x}}(\pi^2 - x^2)$ Найдем область определения функции. По аналогичным правилам подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен, основание логарифма положительно и не равно единице: $$ \begin{cases} 12 - x - x^2 \ge 0, \\ \pi^2 - x^2 > 0, \\ \frac{1}{x} > 0, \\ \frac{1}{x} \ne 1. \end{cases} $$ Решим каждое условие системы: 1. Решим неравенство $12 - x - x^2 \ge 0$: Умножим на $-1$, меняя знак неравенства: $x^2 + x - 12 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$: $(x + 4)(x - 3) = 0 \implies x_1 = -4, \; x_2 = 3$. Значит, $x \in [-4; 3]$. 2. Решим неравенство $\pi^2 - x^2 > 0$: $x^2 < \pi^2 \iff -\pi < x < \pi \iff x \in (-\pi; \pi)$. 3. Решим неравенство $\frac{1}{x} > 0$: $x > 0 \iff x \in (0; +\infty)$. 4. Решим условие $\frac{1}{x} \ne 1$: $x \ne 1$. Найдем пересечение всех полученных промежутков: - С учетом $x > 0$ и $x \ne 1$ получаем $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. - Учитывая условие $x \in (-\pi; \pi)$, получаем $x \in (0; 1) \cup (1; \pi)$. - Пересечем полученный результат с отрезком $[-4; 3]$. Так как $\pi \approx 3{,}14 > 3$, то интервал $(1; \pi)$ пересекается с $[-4; 3]$ по полуинтервалу $(1; 3]$. Таким образом: $x \in (0; 1) \cup (1; 3]$. **Ответ:** $D(y) = (0; 1) \cup (1; 3]$