ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 52

Найдем область определения заданных функций. Функция вида $y = \sqrt{f(x)}$ определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно: $f(x) \ge 0$. **а)** $y = \sqrt{(x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3|}$ Область определения функции задается неравенством: $$ (x^4 - 4x^2 + 3) \cdot |2x - 3| \ge 0 $$ Так как $|2x - 3| \ge 0$ при любых действительных значениях $x$, данное неравенство выполняется в двух случаях: 1. Множитель $|2x - 3| = 0$: $$ 2x - 3 = 0 \iff x = 1{,}5 $$ При $x = 1{,}5$ левая часть обращается в ноль, и неравенство $0 \ge 0$ верно. Значит, $x = 1{,}5$ входит в область определения. 2. Множитель $|2x - 3| > 0$ (то есть при $x \ne 1{,}5$). Разделив обе части неравенства на положительное выражение $|2x - 3|$, получаем: $$ x^4 - 4x^2 + 3 \ge 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 4t + 3 \ge 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$ Решением неравенства относительно $t$ является: $$ t \le 1 \quad \text{или} \quad t \ge 3 $$ Вернемся к переменной $x$: * Из $x^2 \le 1$ следует, что $-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1; 1]$. * Из $x^2 \ge 3$ следует, что $x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$. Так как $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, точка $x = 1{,}5$ не принадлежит ни промежутку $[-1; 1]$, ни промежуткам $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$. Объединяя все решения, получаем: $$ x \in (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [-1; 1] \cup \{1{,}5\} \cup [\sqrt{3}; +\infty) $$ **Ответ:** $D(y) = (-\infty; -\sqrt{3}] \cup [-1; 1] \cup \{1{,}5\} \cup [\sqrt{3}; +\infty)$. --- **б)** $y = \sqrt{(x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5|}$ Область определения функции задается неравенством: $$ (x^4 - 11x^2 + 18) \cdot |2x - 5| \ge 0 $$ Так как $|2x - 5| \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$: 1. При $|2x - 5| = 0$: $$ 2x - 5 = 0 \iff x = 2{,}5 $$ При $x = 2{,}5$ произведение равно нулю ($0 \ge 0$), следовательно, точка входит в область определения. 2. При $|2x - 5| > 0$ (то есть при $x \ne 2{,}5$): $$ x^4 - 11x^2 + 18 \ge 0 $$ Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Решим квадратное неравенство: $$ t^2 - 11t + 18 \ge 0 $$ Корни уравнения $t^2 - 11t + 18 = 0$ по теореме Виета: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = 9 $$ Следовательно: $$ t \le 2 \quad \text{или} \quad t \ge 9 $$ Возвращаемся к переменной $x$: * Из $x^2 \le 2$ следует, что $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$, то есть $x \in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. * Из $x^2 \ge 9$ следует, что $x \le -3$ или $x \ge 3$, то есть $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Заметим, что $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, поэтому $x = 2{,}5$ лежит в промежутке $(\sqrt{2}; 3)$ и не содержится в полученных интервалах. Объединяя найденные множества и точку $x = 2{,}5$, получаем: $$ x \in (-\infty; -3] \cup [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \cup \{2{,}5\} \cup [3; +\infty) $$ **Ответ:** $D(y) = (-\infty; -3] \cup [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \cup \{2{,}5\} \cup [3; +\infty)$.