ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 96

Поперечное сечение балки представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ (основание) и $h$ (высота), вписанный в окружность диаметра $d$. По теореме Пифагора диагональ прямоугольника равна диаметру бревна: $$ a^2 + h^2 = d^2 $$ Отсюда выразим $h^2$: $$ h^2 = d^2 - a^2 $$ Так как $a$ и $h$ — линейные размеры прямоугольника, то $a > 0$ и $h > 0$, откуда $0 < a < d$. По условию прочность балки пропорциональна величине $a h^2$. Обозначим прочность через функцию $P(a)$: $$ P(a) = k \cdot a h^2 = k \cdot a(d^2 - a^2) = k(d^2 a - a^3) $$ где $k > 0$ — постоянный коэффициент пропорциональности, $a \in (0; d)$. Для нахождения наибольшего значения функции $P(a)$ найдем ее производную по переменной $a$: $$ P'(a) = k(d^2 - 3a^2) $$ Найдем критические точки функции на интервале $(0; d)$: $$ P'(a) = 0 \iff d^2 - 3a^2 = 0 \iff a^2 = \frac{d^2}{3} $$ Учитывая, что $a > 0$, получаем: $$ a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3} $$ Определим знаки производной при переходе через найденную точку: — если $a \in \left(0; \frac{d}{\sqrt{3}}\right)$, то $P'(a) > 0$, и функция возрастает; — если $a \in \left(\frac{d}{\sqrt{3}}; d\right)$, то $P'(a) < 0$, и функция убывает. Следовательно, $a = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ — точка максимума, в которой функция $P(a)$ принимает наибольшее значение на интервале $(0; d)$. Найдем соответствующее значение высоты $h$: $$ h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{d^2 - \frac{d^2}{3}} = \sqrt{\frac{2d^2}{3}} = \frac{d\sqrt{6}}{3} $$ Ответ: $a = \frac{d\sqrt{3}}{3}$, $h = \frac{d\sqrt{6}}{3}$ (или $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$, $h = d\sqrt{\frac{2}{3}}$).