ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 98

Пусть береговая линия лежит на прямой $BL$, причём $KB \perp BL$, так как $B$ — ближайшая к кораблю $K$ точка берега. По условию: $KB = 9$ км; $BL = 15$ км. Пусть курьер причалит в точке $P$, лежащей на отрезке $BL$. Обозначим расстояние $BP = x$ км, где $x \in [0; 15]$. Тогда: 1) Из прямоугольного треугольника $KBP$ ($\angle B = 90^\circ$) по теореме Пифагора расстояние, пройденное на вёслах: $$ KP = \sqrt{KB^2 + BP^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}\text{ (км)}. $$ 2) Расстояние, пройденное пешком: $$ PL = BL - BP = 15 - x\text{ (км)}. $$ 3) Скорость на вёслах равна $4$ км/ч, а скорость пешком — $5$ км/ч. Тогда суммарное время в пути составляет: $$ t(x) = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5}\text{ (ч)}. $$ Исследуем функцию $t(x)$ на наименьшее значение на отрезке $[0; 15]$ с помощью производной: $$ t'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5}. $$ Найдем критические точки функции, решив уравнение $t'(x) = 0$: $$ \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{5}, $$ $$ 5x = 4\sqrt{81 + x^2}. $$ Так как $x \ge 0$, возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 25x^2 = 16(81 + x^2), $$ $$ 25x^2 = 16x^2 + 16 \cdot 81, $$ $$ 9x^2 = 16 \cdot 81, $$ $$ x^2 = 16 \cdot 9 = 144, $$ $$ x = 12\text{ (так как } x \in [0; 15]\text{)}. $$ Определим знаки производной $t'(x)$ на отрезке $[0; 15]$: — при $x \in [0; 12)$ имеем $5x < 4\sqrt{81 + x^2}$, поэтому $t'(x) < 0$, функция $t(x)$ убывает; — при $x \in (12; 15]$ имеем $5x > 4\sqrt{81 + x^2}$, поэтому $t'(x) > 0$, функция $t(x)$ возрастает. Следовательно, $x = 12$ является единственной точкой минимума функции $t(x)$ на отрезке $[0; 15]$, и в ней достигается наименьшее значение функции. Таким образом, точка $P$ должна находиться на расстоянии 12 км от точки $B$ (по направлению к лагерю $L$), то есть в $15 - 12 = 3$ км от самого лагеря $L$. Ответ: в пункте на расстоянии 12 км от точки $B$ (в 3 км от лагеря $L$).