ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 97

Пусть $a$ — сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, а $h$ — его высота, где $h \in [1,5; 3,5]$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $$ d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2 $$ По условию диагональ $d = 3\sqrt{3}$, следовательно: $$ (3\sqrt{3})^2 = 2a^2 + h^2 $$ $$ 27 = 2a^2 + h^2 \implies a^2 = \frac{27 - h^2}{2} $$ Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $$ V = a^2 \cdot h $$ Выразим объём как функцию от высоты $h$: $$ V(h) = \frac{27 - h^2}{2} \cdot h = \frac{27h - h^3}{2} $$ Исследуем функцию $V(h)$ на наибольшее значение на отрезке $[1,5; 3,5]$ с помощью производной: $$ V'(h) = \left(\frac{27h - h^3}{2}\right)' = \frac{27 - 3h^2}{2} $$ Найдем критические точки, решив уравнение $V'(h) = 0$: $$ \frac{27 - 3h^2}{2} = 0 $$ $$ 27 - 3h^2 = 0 \implies h^2 = 9 $$ Учитывая, что $h > 0$, получаем $h = 3$. Значение $h = 3$ принадлежит отрезку $[1,5; 3,5]$. Определим знаки производной на отрезке $[1,5; 3,5]$: - при $h \in [1,5; 3)$ производная $V'(h) > 0$, функция возрастает; - при $h \in (3; 3,5]$ производная $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = 3$ является точкой максимума функции $V(h)$ на данном отрезке. Найдём сторону основания при $h = 3$: $$ a^2 = \frac{27 - 3^2}{2} = \frac{18}{2} = 9 \implies a = 3 $$ Так как все измерения параллелепипеда равны ($a = 3$, $h = 3$), он является кубом с ребром $3$. Ответ: куб с ребром 3.