ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 93

Парабола $y = 3 - x^2$ симметрична относительно оси ординат $Oy$, а её ветви направлены вниз. Точки пересечения параболы с осью $Ox$: $$ 3 - x^2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{3} $$ Поскольку одна сторона прямоугольника лежит на оси $Ox$, а две вершины лежат на параболе выше оси $Ox$, в силу симметрии параболы вершины прямоугольника имеют координаты: $$ (-x; 0), \quad (x; 0), \quad (x; 3 - x^2), \quad (-x; 3 - x^2), \quad \text{где } 0 < x < \sqrt{3} $$ Длины сторон прямоугольника равны: - горизонтальная сторона, лежащая на оси $Ox$: $a = 2x$; - вертикальная сторона: $b = 3 - x^2$. Составим функцию площади прямоугольника $S(x)$: $$ S(x) = 2x(3 - x^2) = 6x - 2x^3, \quad x \in (0; \sqrt{3}) $$ Для нахождения наибольшего значения функции найдём её производную: $$ S'(x) = (6x - 2x^3)' = 6 - 6x^2 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 6 - 6x^2 = 0 \implies x^2 = 1 $$ Так как $x \in (0; \sqrt{3})$, получаем критическую точку: $$ x = 1 $$ Определим знаки производной на интервале $(0; \sqrt{3})$: - при $x \in (0; 1)$ имеем $S'(x) > 0$ — функция возрастает; - при $x \in (1; \sqrt{3})$ имеем $S'(x) < 0$ — функция убывает. Значит, $x = 1$ — точка максимума, при которой площадь прямоугольника принимает наибольшее значение. Найдём стороны прямоугольника: - горизонтальная сторона: $a = 2 \cdot 1 = 2$; - вертикальная сторона: $b = 3 - 1^2 = 2$. Ответ: $2$ и $2$.