ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 92

**а)** Пусть второе слагаемое равно $x$, тогда первое слагаемое равно $2x$. Так как сумма всех трёх слагаемых равна $54$, третье слагаемое равно: $$ 54 - (2x + x) = 54 - 3x $$ По условию задачи все слагаемые должны быть положительными: $$ \begin{cases} x > 0 \\ 54 - 3x > 0 \end{cases} \iff 0 < x < 18 $$ Составим функцию произведения трёх слагаемых: $$ f(x) = 2x \cdot x \cdot (54 - 3x) = 2x^2(54 - 3x) = 108x^2 - 6x^3 $$ Найдём производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = (108x^2 - 6x^3)' = 216x - 18x^2 = 18x(12 - x) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ 18x(12 - x) = 0 $$ Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$. Интервалу $(0; 18)$ принадлежит только $x = 12$. Определим знаки производной на интервале $(0; 18)$: * при $x \in (0; 12)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (12; 18)$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $x = 12$ является точкой максимума функции $f(x)$, и при этом значении аргумента произведение принимает наибольшее значение. Найдём искомые слагаемые: * первое слагаемое: $2x = 2 \cdot 12 = 24$; * второе слагаемое: $x = 12$; * третье слагаемое: $54 - 3 \cdot 12 = 18$. **Ответ:** $24$, $12$ и $18$. --- **б)** Пусть два равных положительных слагаемых равны $x$. Тогда третье слагаемое равно: $$ 48 - 2x $$ По условию слагаемые должны быть положительными: $$ \begin{cases} x > 0 \\ 48 - 2x > 0 \end{cases} \iff 0 < x < 24 $$ Составим функцию произведения этих трёх слагаемых: $$ g(x) = x \cdot x \cdot (48 - 2x) = x^2(48 - 2x) = 48x^2 - 2x^3 $$ Найдём производную функции $g(x)$: $$ g'(x) = (48x^2 - 2x^3)' = 96x - 6x^2 = 6x(16 - x) $$ Приравняем производную к нулю: $$ 6x(16 - x) = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$. Интервалу $(0; 24)$ принадлежит только $x = 16$. Определим знаки производной на интервале $(0; 24)$: * при $x \in (0; 16)$ производная $g'(x) > 0$, функция возрастает; * при $x \in (16; 24)$ производная $g'(x) < 0$, функция убывает. Значит, $x = 16$ — точка максимума, в которой функция принимает наибольшее значение на интервале $(0; 24)$. Найдём слагаемые: * первые два слагаемых: по $16$; * третье слагаемое: $48 - 2 \cdot 16 = 16$. **Ответ:** $16$, $16$ и $16$.