ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 90

Функция $f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ определена и дифференцируема при всех действительных $x$, в том числе на отрезке $[1; 2]$. Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = \frac{(b - x)' \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (b - x) \cdot (\sqrt{x^2 + 1})'}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} $$ Так как $(b - x)' = -1$ и $(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, получаем: $$ f'(x) = \frac{-1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (b - x) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1) - x(b - x)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-x^2 - 1 - bx + x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} $$ $$ f'(x) = \frac{-bx - 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ -bx - 1 = 0 \iff bx = -1 \iff x = -\frac{1}{b} $$ По условию $b < 0$, следовательно, $-b > 0$ и точка $x_0 = -\frac{1}{b}$ положительна. Определим знак производной: знаменатель $(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1} > 0$ при всех $x$, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $-bx - 1 = -b\left(x - \left(-\frac{1}{b}\right)\right)$. Так как $-b > 0$, то: — при $x < -\frac{1}{b}$ производная $f'(x) < 0$, и функция убывает; — при $x > -\frac{1}{b}$ производная $f'(x) > 0$, и функция возрастает. Следовательно, $x_0 = -\frac{1}{b}$ является единственной точкой минимума функции $f(x)$. Исследуем расположение точки минимума относительно отрезка $[1; 2]$: 1) Точка минимума лежит левее отрезка или совпадает с его левым концом: $$ -\frac{1}{b} \le 1 $$ Умножим обе части неравенства на положительное число $-b > 0$: $$ 1 \le -b \iff b \le -1 $$ При $b \le -1$ для всех $x \in [1; 2]$ выполняется $x \ge -\frac{1}{b}$, значит, $f'(x) \ge 0$. Функция возрастает на отрезке $[1; 2]$, и ее наименьшее значение достигается на левом конце: $$ f(1) = \frac{b - 1}{\sqrt{1^2 + 1}} = \frac{b - 1}{\sqrt{2}} $$ 2) Точка минимума лежит строго внутри отрезка: $$ 1 < -\frac{1}{b} < 2 $$ Умножим неравенство на $-b > 0$: $$ -b < 1 \quad \text{и} \quad 1 < -2b \iff b > -1 \quad \text{и} \quad b < -\frac{1}{2} $$ То есть $-1 < b < -\frac{1}{2}$. В этом случае наименьшее значение функции достигается в точке минимума $x = -\frac{1}{b}$: $$ f\left(-\frac{1}{b}\right) = \frac{b - \left(-\frac{1}{b}\right)}{\sqrt{\left(-\frac{1}{b}\right)^2 + 1}} = \frac{\frac{b^2 + 1}{b}}{\sqrt{\frac{1 + b^2}{b^2}}} $$ Учитывая, что $\sqrt{b^2} = |b| = -b$ при $b < 0$: $$ f\left(-\frac{1}{b}\right) = \frac{\frac{b^2 + 1}{b}}{\frac{\sqrt{b^2 + 1}}{-b}} = \frac{b^2 + 1}{b} \cdot \frac{-b}{\sqrt{b^2 + 1}} = -\sqrt{b^2 + 1} $$ 3) Точка минимума лежит правее отрезка или совпадает с его правым концом: $$ -\frac{1}{b} \ge 2 $$ Умножим обе части на $-b > 0$: $$ 1 \ge -2b \iff b \ge -\frac{1}{2} $$ С учетом условия $b < 0$ получаем $-\frac{1}{2} \le b < 0$. При таких значениях параметра $b$ для всех $x \in [1; 2]$ выполняется $x \le -\frac{1}{b}$, значит, $f'(x) \le 0$. Функция убывает на отрезке $[1; 2]$, и ее наименьшее значение достигается на правом конце: $$ f(2) = \frac{b - 2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{b - 2}{\sqrt{5}} $$ Ответ: — если $b \le -1$, то наименьшее значение равно $\frac{b - 1}{\sqrt{2}}$; — если $-1 < b < -\frac{1}{2}$, то наименьшее значение равно $-\sqrt{b^2 + 1}$; — если $-\frac{1}{2} \le b < 0$, то наименьшее значение равно $\frac{b - 2}{\sqrt{5}}$.