ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 8

### а) $y = e^x - x$, $[-3; 2]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (e^x - x)' = e^x - 1 $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0 $$ Точка $x = 0$ принадлежит отрезку $[-3; 2]$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$ y(0) = e^0 - 0 = 1 $$ $$ y(-3) = e^{-3} - (-3) = \frac{1}{e^3} + 3 $$ $$ y(2) = e^2 - 2 $$ 4. Сравним полученные значения: Так как $e \approx 2{,}72$, то: * $y(0) = 1$; * $y(-3) = \frac{1}{e^3} + 3 \approx \frac{1}{20{,}1} + 3 \approx 3{,}05$; * $y(2) = e^2 - 2 \approx 7{,}39 - 2 = 5{,}39$. Наименьшее из этих чисел — $1$, а наибольшее — $e^2 - 2$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = e^2 - 2$, $y_{\text{наим}} = 1$. --- ### б) $y = e^x - xe$, $[-2; 2]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (e^x - x \cdot e)' = e^x - e $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ e^x - e = 0 \iff e^x = e^1 \iff x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$. 3. Вычислим значения функции в точке $x = 1$ и на концах отрезка: $$ y(1) = e^1 - 1 \cdot e = 0 $$ $$ y(-2) = e^{-2} - (-2)e = \frac{1}{e^2} + 2e $$ $$ y(2) = e^2 - 2e $$ 4. Сравним полученные значения: Поскольку при $x < 1$ производная $y' < 0$ (функция убывает), а при $x > 1$ производная $y' > 0$ (функция возрастает), в точке $x = 1$ достигается наименьшее значение функции, равное $0$. Сравним значения на концах отрезка: $$ y(-2) - y(2) = \left(\frac{1}{e^2} + 2e\right) - (e^2 - 2e) = \frac{1}{e^2} + 4e - e^2 = \frac{1}{e^2} + e(4 - e) $$ Так как $e \approx 2{,}72$, то $4 - e > 0$, следовательно, разность положительна: $y(-2) > y(2)$. Значит, наибольшее значение функции равно $\frac{1}{e^2} + 2e$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{e^2} + 2e$, $y_{\text{наим}} = 0$. --- ### в) $y = \sin 2x - x$, $[-\pi; \pi]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (\sin 2x - x)' = 2\cos 2x - 1 $$ 2. Найдем критические точки: $$ 2\cos 2x - 1 = 0 \iff \cos 2x = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём точки, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$: * при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$; * при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$; * при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. 3. Функция $y(x) = \sin 2x - x$ является нечётной, так как: $$ y(-x) = \sin(-2x) - (-x) = -\sin 2x + x = -y(x) $$ Поэтому достаточно вычислить значения в неотрицательных точках: $$ y(0) = 0 $$ $$ y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} $$ $$ y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\frac{5\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} $$ $$ y(\pi) = \sin 2\pi - \pi = -\pi $$ В силу нечётности для противоположных точек значения меняют знак на противоположный: $$ y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} $$ $$ y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6} $$ $$ y(-\pi) = \pi $$ 4. Сравним положительные кандидаты на максимум ($\pi$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$): $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}\right) - \pi = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6} $$ Так как $3\sqrt{3} = \sqrt{27} > 5 > \pi$, эта разность строго положительна, то есть: $$ y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) > y(-\pi) $$ Следовательно: * Наибольшее значение функции: $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$; * Наименьшее значение функции: $y_{\text{наим}} = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{6}$, $y_{\text{наим}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6}$. --- ### г) $y = \cos 2x + x$, $[-\pi; \pi]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (\cos 2x + x)' = -2\sin 2x + 1 $$ 2. Найдем критические точки: $$ -2\sin 2x + 1 = 0 \iff \sin 2x = \frac{1}{2} $$ Для $x \in [-\pi; \pi]$ аргумент $2x \in [-2\pi; 2\pi]$. Уравнение $\sin 2x = \frac{1}{2}$ на этом промежутке имеет решения: $$ 2x \in \left\{-\frac{11\pi}{6}; \, -\frac{7\pi}{6}; \, \frac{\pi}{6}; \, \frac{5\pi}{6}\right\} $$ Отсюда критические точки: $$ x = -\frac{11\pi}{12}, \quad x = -\frac{7\pi}{12}, \quad x = \frac{\pi}{12}, \quad x = \frac{5\pi}{12} $$ 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: * На концах отрезка: $$ y(-\pi) = \cos(-2\pi) + (-\pi) = 1 - \pi \approx 1 - 3{,}14 = -2{,}14 $$ $$ y(\pi) = \cos(2\pi) + \pi = 1 + \pi \approx 1 + 3{,}14 = 4{,}14 $$ * В критических точках: $$ y\left(-\frac{11\pi}{12}\right) = \cos\left(-\frac{11\pi}{6}\right) - \frac{11\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{6} - \frac{11\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{11\pi}{12} \approx 0{,}87 - 2{,}88 = -2{,}01 $$ $$ y\left(-\frac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(-\frac{7\pi}{6}\right) - \frac{7\pi}{12} = -\cos\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12} \approx -0{,}87 - 1{,}83 = -2{,}70 $$ $$ y\left(\frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \approx 0{,}87 + 0{,}26 = 1{,}13 $$ $$ y\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5\pi}{12} \approx -0{,}87 + 1{,}31 = 0{,}44 $$ 4. Сравнение значений: * Для наименьшего значения сравним $1 - \pi$ и $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$: $$ (1 - \pi) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}\right) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} \approx 1 + 0{,}87 - 1{,}31 = 0{,}56 > 0 $$ Значит, наименьшее значение достигается при $x = -\frac{7\pi}{12}$ и равно $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$. * Среди всех значений наибольшим является $y(\pi) = 1 + \pi \approx 4{,}14$. **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 1 + \pi$, $y_{\text{наим}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{12}$.