ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 6

**5.6** Критические точки функции — это точки из области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Все предложенные функции являются многочленами, поэтому они определены и дифференцируемы на всей числовой прямой, а их критические точки находятся из уравнения $y' = 0$. **а)** $y = 2x^3 - 3x^2, [-3; 3]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (2x^3 - 3x^2)' = 6x^2 - 6x $$ 2. Приравняем производную к нулю: $$ 6x^2 - 6x = 0 $$ $$ 6x(x - 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ 3. Проверим принадлежность найденных точек отрезку $[-3; 3]$: - $0 \in [-3; 3]$; - $1 \in [-3; 3]$. Ответ: $0; 1$. --- **б)** $y = 5x^3 - 15x, [-2; 2]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (5x^3 - 15x)' = 15x^2 - 15 $$ 2. Приравняем производную к нулю: $$ 15x^2 - 15 = 0 $$ $$ 15(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x^2 = 1 $$ $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ 3. Проверим принадлежность найденных точек отрезку $[-2; 2]$: - $-1 \in [-2; 2]$; - $1 \in [-2; 2]$. Ответ: $-1; 1$. --- **в)** $y = 3x^4 + x^3 + 7, [-3; 2]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (3x^4 + x^3 + 7)' = 12x^3 + 3x^2 $$ 2. Приравняем производную к нулю: $$ 12x^3 + 3x^2 = 0 $$ $$ 3x^2(4x + 1) = 0 $$ $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad 4x + 1 = 0 \implies x_2 = -\frac{1}{4} = -0,25 $$ 3. Проверим принадлежность найденных точек отрезку $[-3; 2]$: - $-0,25 \in [-3; 2]$; - $0 \in [-3; 2]$. Ответ: $-0,25; 0$. --- **г)** $y = x^4 - 4x^2, [-4; 4]$ 1. Найдём производную функции: $$ y' = (x^4 - 4x^2)' = 4x^3 - 8x $$ 2. Приравняем производную к нулю: $$ 4x^3 - 8x = 0 $$ $$ 4x(x^2 - 2) = 0 $$ $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 2 = 0 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{2} $$ 3. Проверим принадлежность найденных точек отрезку $[-4; 4]$: - так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, то $-\sqrt{2} \in [-4; 4]$, $0 \in [-4; 4]$, $\sqrt{2} \in [-4; 4]$. Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}$.